\documentclass[a4paper,11pt,fleqn,twoside,headexclude]{scrreprt} \usepackage{pennames} \usepackage{feynmf} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext} \usepackage{graphicx} \usepackage[automark]{scrpage2} \usepackage{units} \usepackage{hyperref} \usepackage{makeidx} \pagestyle{scrheadings} \ihead[]{Kernphysik WS 05/06} \ohead[]{\leftmark} \chead[]{} \newcommand{\dd}{\ensuremath{\mathrm d}} % KEIN \ vor das d, das sieht sonst bei Ableitungen doof aus \newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm e}} \newcommand{\const}{\ensuremath{\mathrm{const}}} \newcommand{\fvec}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \newcommand{\Pagn}{\ensuremath{\mathrm{\overline{\nu}}}} \newcommand{\Pgn}{\ensuremath{\mathrm{\nu}}} \makeindex \title{Ergänzung zum Folienskript Kernphysik WS \nolinebreak[2] 2005/06 - Universität Bonn} \author{Steffen Schaepe, Jan Hartmann,\\ Daniel Hammann, Philipp Wilking} \setcounter{chapter}{-1} \begin{document} \setlength{\parindent}{0pt} \maketitle \tableofcontents \chapter{Vorwort} Bei diesem Skript handelt es sich um eine Ergänzung zu den Folien der Vorlesung Kernphysik von den Prof. Beck und Thoma an der Universität Bonn im Wintersemester 2005/06. Die Autoren wollen die Teile der Vorlesung, die nicht über Folien sondern an der Tafel vorgestellt wurden, auf diese Weise "`protokollieren"'. \chapter{Einleitung} \section{Historischer Überblick} \subsection{Entdeckung des Elektrons (J. J. Thomson 1897)} \index{Thomson, J.J.} Durch Versuche mit einer Kathodenstrahlröhre stellte Thomson fest, dass die sog. "`Katodenstrahlen"' aus negativ geladenen Teilchen bestehen müssen: \begin{figure}[ht] \index{Kathodenstrahlröhre} \centering \includegraphics{Braunsche_Roehre} \caption{Schema-Zeichnung Kathodenstrahlröhre \cite{cite1}} \label{fig:braunsche} \end{figure} Zur Bestimmung ihrer relativen Ladung $\frac{e}{m}$ untersuchte er das Verhalten der Teilchen in einem Wien-Filter \index{Wien-Filter} aus gekreuzten $\vec{E}$- und $\vec{B}$-Feldern. Durch Einstellen der Feldstärken erreichte er, dass die Teilchen nicht mehr abgelenkt wurden: \[ \vec{F_L}=q\vec{v}\times\vec{B}=\vec{F_E}=q\vec{E}\\ \] Und wegen der rechtwinkelig gekreuzten Felder: \[ \Rightarrow |v|=\frac{|E|}{|B|} \] Nun kann aus der Ablenkung im elektrischen Feld die Größe $\frac{e}{m}$ bestimmt werden. Aus seine Ergebnissen folgerte Thomson, dass im Atomkern positive und negative Ladungsträger vorlägen und diese gleichmäßig im Atom verteilt wären. \subsection{Spektroskopie von Atommassen} \index{Spektroskopie!von Atommassen} Um die Masse von Atomen zu bestimmen werden sie auf der Strecke $l$ durch zwei entlang der Y-Achse entgegengerichtete $\vec{E}$- und $\vec{B}$-Felder geschickt. Für Ihre Ablenkungen gelten folgende Kräfte: \begin{enumerate} \item In $x$-Richtung: $\vec{F_L}=e\,\vec{v}\times\vec{B}$ \item In $y$-Richtung: $\vec{F_E}=e\vec{E}$ \end{enumerate} Daraus ergeben sich folgende Ablenkungen: \begin{enumerate} \item Das ionisierte Atom beschreibt ein Kreisbahn-Segment: \[F_L=evB=F_\mathrm z=\frac{mv^2}{r}\] \[\Rightarrow r=\frac{mv}{eB}\] \[\Rightarrow x=\frac{eBv}{2m}\frac{l^2}{v^2}=\frac{1}{2mv}eBl^2\] Die Anordnung wirkt als Impulsfilter. \item \[\ddot{y}=\frac{e}{m}E\] \[\Rightarrow y=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}t^2=\frac{1}{2mv^2}eEl^2\] Diese Anordnung wirkt als Energiefilter. \end{enumerate} Setzt man die Geschwindigkeiten in beiden Gleichungen gleich, so folgt für die Ortskoordinaten der Ablenkung die Parabelgleichung: \begin{equation} y=\frac{2E}{l^2B^2}\frac{m}{e}x^2 \end{equation} Alle Teilchen werden also unabhängig von ihrer Geschwindigkeit auf eine Parabel in der Beobachtungsebene abgelenkt. Bei vielen verschiedenen Teilchen ergibt sich so eine Parabelschar mit dem Scharparameter $\left(\frac{e}{m}\right)^{-1}$. \subsection{Rutherford-Experiment (1911)} \index{Rutherford}\index{Rutherford!Experiment} \index{Streuexperiment!Rutherford} Das Rutherford-Experiment stellt den ersten direkten Beweis für die Existenz eines Atomkernes dar. In ihm wird ein Strahl von $\alpha$-Teilchen durch eine sehr dünne ($10\unit{\mu m}$) Goldfolie gestrahlt und dann die Intensitätsverteilung in abhängigkeit des Streuwinkels $\theta$ gemessen (siehe Abb. \ref{fig:rutherford}). \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics{Rutherford} \caption{Aufbau des Rutherford-Streuexperiments \cite{cite2}} \label{fig:rutherford} \end{figure} Rutherfords Erwartung war ein ausgeprägter Peak in Strahlrichtung. Aus den gegebenen Größen (Dicke der Folie $d\approx10\unit{\mu m}$, Radius des Goldatoms $r\approx0,2 \unit{nm}$, $\Rightarrow$ Dicke der Folie $\approx 5\cdot10^4$ Atomlagen) ergibt sich eine erwartete Breite $\Delta\theta\approx1,8$° (Breite des Peaks bei halber Höhe). Tatsächlich stellte man jedoch sogar Streuungen jenseits 90° fest. Diese Streuung lässt sich nur erklären, wenn die gesamte positive Ladung und nahezu die gesamte Masse des Atoms in einem relativ kleinen Kern im Zentrum des Atoms liegt, an denen die $\alpha$-Teilchen Coulomb-streuen. \subsection{Konzept eines Wirkungsquerschnittes} \index{Wirkungsquerschnitt!Konzept} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=60mm]{Rutherford2} \caption{Schema der Streung an einem Atom \cite{cite3}} \label{fig:streuung} \end{figure} Jedes Streuzentrum hat eine Fläche $\sigma$. Wird $\sigma$ getroffen $\longrightarrow$ Reaktion \\ $N$ Streuzentren $\rightarrow$ effektive Streufläche $N\cdot \sigma$ \[ \textnormal{Einlaufender Fluss: } \Phi= n_A \cdot v = \frac{\textnormal{Anzahl einlaufender Teilchen}}{\textnormal{Einheitsfläche}\,\cdot\, \textnormal{sec}} \] \[\Phi \cdot A = N_\mathrm{in}\qquad \textnormal{einlaufende Teilchen/sec} \] \[N_\mathrm S = \Phi \cdot N \cdot \sigma \qquad \textnormal{gestreute Teilchen/sec} \] \[\frac{N_\mathrm S}{N_\mathrm {in}}=\frac{\Phi\cdot N\cdot\sigma}{\Phi\cdot A} = \frac{N\cdot\sigma}{A}\qquad \textnormal{Streuwahrscheinlichkeit}\] Totaler Wirkungsquerschnitt: $\sigma$ \index{Wirkungsquerschnitt!totaler} \[\sigma = \dfrac{\frac{N_\mathrm S}{N}}{\Phi}= \frac{\textnormal{\# gestreute Teilchen / \# Streuzentren}}{\textnormal{\# einlaufende Teilchen / Streufläche}\cdot\textnormal{sec}}\] \[\sigma \longleftrightarrow [\unit{cm}^2] \longleftrightarrow \textnormal{Fläche} \] \[\textnormal{typische Werte: barn} \qquad 1\unit b = 10^{-24} \unit{cm}^2 \] Teilchen, die in den Detektor gestreut werden: \[\dd N_\mathrm S = \Phi \cdot N \cdot \underbrace{\sigma(\theta) \dd \Omega}_{\dd \sigma} \qquad \qquad (\varphi\textnormal{-Symmetrie angenommen}) \] \[\underbrace{\Phi \cdot 2 \pi\ b\ \dd b}_{\# \text{ einl. Teilchen}} = \underbrace{\Phi \cdot \dd \sigma}_{\# \text{ gestreute Teilchen in }\dd \Omega^{(1)}} \] \[\dd\sigma=\textnormal{differentieller Wirkungsquerschnitt} \] \index{Wirkungsquerschnitt!differentieller} \[\sigma_\mathrm {tot} = \sigma = \int\! \sigma(\theta)\,\dd\Omega\] \subsection*{Zurück zur Rutherford-Streuung:} \index{Wirkungsquerschnitt!Rutherford} Differentieller Wirkungsquerschnitt der Rutherford-Streung \[\dd\sigma = \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \cdot \dd \Omega \qquad \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega}= \frac{2\pi \cdot b\dd b}{2 \pi \sin \theta \dd \theta} = \frac{b}{\sin \theta}\frac{\dd b }{\dd \theta} \] \begin{equation} \Rightarrow \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega} = \left( \frac{Z_1 Z_2\,e^2}{16 \pi\,E_0}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sin^4\left(\frac{\theta}{2}\right)} \label{eq:rutherford} \end{equation} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=50mm]{delta0} \caption{Kleinstmöglicher Abstand $\delta_0$ \cite{cite3}} \label{fig:delta0} \end{figure} Berechnung der Bahnkurve: Erhaltungssätze: $\qquad$ 1. Energie $\qquad$ 2. Impuls \begin{enumerate} \item $\dfrac{m v^2}{2} = \dfrac{m v_0^2}{2} - \dfrac{Z_1 Z_2\,e^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot \delta}$ \\ wobei $\frac{m v^2}{2}$ der kinetischen Energie beim kleinsten Abstand $\delta$ entspricht. \\ Rückstreuung: $b=0$, Abstand hierbei ist $\delta_0$ \[\delta_0 = \dfrac{Z_1 Z_2\,e^2}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{2}{mv_0^2} \] $\delta_0(6\unit{MeV}\ \alpha'\mathrm{s}) = 38 \unit{fm} \longrightarrow$ Kern wird nicht erreicht \\ $Z_1=2,\qquad Z_2=79$ (Gold) \[\delta_0 = \dfrac{279}{6\unit{MeV}} \cdot \dfrac{1}{\underbrace{137}_{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}} } \cdot \underbrace{197\unit{MeV\ fm}}_{\hbar c}\] \item Drehimpuls\\ $m \cdot v \cdot \delta = m \cdot v_0 \cdot b$ \\ $\longrightarrow \tan \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\delta_0}{2b}$ \\ Zusammenhang zwischen $b$ und $\theta$: kleine $b \rightarrow$ große $\theta$ \end{enumerate} \subsubsection*{Gültigkeit der Rutherford-Formel:} \index{Rutherford!Gültigkeit} \begin{enumerate} \item $M \gg m \leftrightarrow $Rückstoßimpuls vernachlässigbar \item Abschirmung des Kernpotentials durch die $\Pem$ vernachlässigt \item Target und Projektil als punktförmig betrachtet \item Reine Coulomb-Wechselwirkung, keine starke Kernkraft berücksichtigt \item Wechselwirkende Kerne haben keine Spin (keine magnetische WW) \end{enumerate} \section{Generelle Anmerkungen} \subsection{Einheiten in der Kern \& Teilchenphysik} \index{Einheiten} \begin{itemize} \item Kerne haben Radien in der Größenordnung von einigen $10^{-15}\unit m$ $\Rightarrow 1 \unit{fm}= 10^{-15}\unit m $ : Femtometer oder Fermi \index{Einheiten!Fermi} \index{Fermi} \item Energien werden in $\unit {eV}$ angegeben (Elektronenvolt) = Energie, die ein Teilchen mit Ladung $1e(=1,602 \cdot 10^{-19}\unit C)$ hat, nachdem es eine Potentialdifferenz von $1\unit V$ durchlaufen hat: $\quad 1 \unit{eV} = 1,602 \cdot 10^{-19}\unit J$ \item Atomare Masseneinheit = Konvention: $1 \unit u = \frac{1}{12}M\big({^{12}_{\ 6}\mathrm C_6}\big)$\\ $1\unit u = 1,6605 \cdot 10^{-27}\unit{kg}=931,5\unit{MeV}$ \end{itemize} \subsection{Wiederholung einiger Grundlagen} Physikalische Prozesse auf der Skala von Kernen und Elementarteilchen $\rightarrow$ Quantenmechanik wichtig! \begin{itemize} \item Dualismus zwischen Welle und Teilchen $\rightarrow$ Teilchen mit Impuls $\vec p$ hat eine Wellenlänge $ \lambda=\frac{2 \pi \hbar}{p}$ (deBroglie-Wellenlänge) \index{deBroglie-Wellenlänge}\\ um ein Ojekt untersuchen zu können muss gelten: $\lambda \stackrel{!}{<} $ Objekt \item Unschärferelation \index{Unschärferelation} $\Leftrightarrow$ Position und Impuls eines Teilchen können nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden \begin{equation} \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \qquad \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \end{equation} \begin{description} \item[Konsequenz:] $\rightarrow$ virtuelles Teilchen erlaubt, wenn Teilchenaustausch innerhalb der Unschärferelation passiert \index{virtuelles Teilchen}\index{Teilchen!virtuell}\\ Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen kann durch Teilchenaustausch beschrieben werden \item[Beispiel:] \[m_0 = 100 \dfrac{\unit{MeV}}{c^2}\qquad\qquad \Delta E \cdot \Delta t = m c^2 \cdot\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\Delta t}_{\text{max. Lebensdauer des virt. Teilchens}} \approx \dfrac{\hbar}{2} \] %fixme (underbrace) \[\textnormal{max. Reichweite} =c \cdot \Delta t \approx \dfrac{\hbar}{2mc} = \dfrac{197\unit{MeV} \frac{\unit{fm}}{c}}{2 \cdot 100 \frac{\unit{MeV}}{c^2}\cdot c}\approx 1 \unit{fm} \] schwere Teilchen $\rightarrow$ kurze Reichweite der Kraft \end{description} \end{itemize} \chapter{Eigenschaften von Kernen und Nukleonen} \begin{labeling}{Bestandteile des Atoms:} \item[Rutherford:] $ \alpha $-Streung and verschiedenen Kernen $ R = r_0 \cdot A^{\frac{1}{3}}$\\ $\alpha$-Beschuss von leichten Kernen, z.B. $ \alpha + {^{14}\mathrm N} \rightarrow {^{17} \mathrm O} + \Pp $\\ \quad \Pp = positiv geladenes Teilchen mit großer Reichweite\\ $ \quad \Rightarrow$ Proton Bestandteil des Atomkerns \item[Chadwick:] Entdeckung des Neutrons: $\alpha + {^9 \mathrm{Be}} \rightarrow {^{12}\mathrm C} +\Pn$\\ \quad indirekter Nachweis: Streuung des \Pn an $^1$H, $^4$He, $^{14}$N\\ \qquad Messung der Rückstoßenergie $\rightarrow m_\Pn \approx m_\Pp$ \item[Bestandteile des Atoms:] \begin{tabular}[t]{lccr} & Ladung & Spin & Masse (MeV)\\ \Pp & $+e$ & 1/2 & 938,272 \\ \Pn & 0 & 1/2 & 939,565 \\ \Pem & $-e$ & 1/2 & 0,511 \end{tabular} \item[Notation:]$ {^A_Z \mathrm E_N} $ \begin{tabular}[t]{ll} Massenzahl\index{Massenzahl} & $A=N+Z$\\ Ladungszahl\index{Ladungszahl} & $Z = \# $Protonen, $Q=Z\, e$\\ & $N = \# $ Neutronen \end{tabular} \end{labeling} \section{Massen und Bindung} Bindung im Kern muss Coulombkraft überkompensieren $\longleftrightarrow$ energetisch bevorzugt: \[\sum_{\text{Konstituenten}}{m_i} > M_\mathrm{Kern}\] \subsection{Bindungsenergie} \index{Bindungsenergie} \begin{itemize} \item Energie, die benötigt wird, um den Kern in seine Konstituenten zu zerlegen \item definiert unter Benutzung von Atom-Massen $\longleftrightarrow$ genauer messbar \begin{equation} B(Z,A)=\{\underbrace{Z}_{\text{\# \Pp}}\cdot M(^1\mathrm{H})+\underbrace{(A-Z)}_{\text{\# \Pn}}\cdot m_\Pn-\underbrace{M(A,Z)}_{\text{Masse des Atoms}}\}\cdot c^2 \end{equation} \[M\left({^1\mathrm{H}}\right)=m_\Pp + m_{\Pem} \qquad\textnormal{atomare Bindung des \Pem (13,6 eV) vernachlässigbar}\] \end{itemize} \subsection{Bestimmung von Massen: Massenspektroskopie} \index{Massenspektroskopie}\index{Spektroskopie!von Atommassen} \begin{tabbing} $\vec{E}$:\qquad $\dfrac{m \cdot v^2}{r_E}=q \cdot E$\qquad\qquad \= $\Leftrightarrow\qquad r_E=\dfrac{m}{q}\cdot \dfrac{v^2}{E}$\qquad \= $\longleftrightarrow$ \qquad Selektion nach der Energie\\ $\vec{B}$:\qquad $\dfrac{m \cdot v^2}{r_B}=q \cdot |\vec{v}\times\vec{B}|$\qquad \> $\Leftrightarrow\qquad r_B=\dfrac{m}{q}\cdot \dfrac{v}{B}$ \qquad \> $\longleftrightarrow$ \qquad Selektion nach dem Impuls \end{tabbing} \begin{equation} \Rightarrow \dfrac{m}{q}=\dfrac{r_{B}^{2}}{r_{E}}\cdot \dfrac{B^{2}}{E} \end{equation} \begin{itemize} \item Ionen mit $q = e$ $\Longrightarrow$ Massenbestimmung \item Beste Auflösung für Massendifferenzen: $\frac{\Delta m}{m}\approx 10^{-8}$ \end{itemize} \subsection{Massen / Bindungsenergien bei Kernreaktionen} \[\underbrace{\Pn}_{\text{thermisches n:}\frac{1}{40}\text{eV}} + {^1\mathrm{H}} \rightarrow {^2\mathrm{H}} +\gamma \qquad\qquad \text{Neutroneneinfang}\] \begin{equation} B=\left(m_\Pn + M\left({^1\mathrm H}\right)-M\left({^2\mathrm H}\right)\right)\cdot c^2=E_\gamma+ \underbrace{\frac{E_\gamma^2}{2\cdot M\left({^2\mathrm H}\right) \cdot c^2}}_{\text{Rückstoßenergie des Deuterons}} \end{equation} \subsubsection*{Tabelle: Kernmassen \& Bindungsenergien:} \index{Kerne!Masse}\index{Bindungsenergie} \begin{tabular}{|r|r|r|r|} \hline Kern & Masse $[\unit{u}]$ & $E_B\ [\unit{MeV}]$ & $\frac{E_B}{A}\ [\unit{MeV}]$ \\ \hline ${^2_1\mathrm H}$ & 2,014 & 2,225 & 1,112 \\ ${^3_1\mathrm H}$ & 3,016 & 8,482 & 2,827 \\ ${^4_2\mathrm{He}}$ & 4,003 & 28,295 & 7,074 \\ ${^7_3\mathrm{Li}}$ & 7,016 & 39,245 & 5,606 \\ ${^{12}_{\ 6}\mathrm C}$ & 12,000 & 92,161 & 7,68 \\ ${^{238}_{\ 92}\mathrm U}$ & 238,051 & 801,72 & 7,58 \\ \hline \end{tabular} \begin{itemize} \item $\frac{E_B}{A} \approx 7-8 \unit{MeV}$ für die meisten Kerne\\ $\longrightarrow$ Sättigungseffekt: $E_B \propto A$ (nicht $A^2$) \item $\frac{E_B}{A}$ zeigt Peaks bei den sog. magischen Zahlen\\ $\longrightarrow$ Abschnitt Schalenmodell des Kerns (Kap. \ref{sect:schalen}) \end{itemize} \subsection{Bethe-Weizsäcker-Massenformel} \index{Bethe-Weizsäcker-Massenformel} empirische Parametrisierung für die Kernmassen: \begin{equation} \label{eq:bwm} M(A,Z) = \underbrace{-a_\mathrm v A}_\textnormal{Volumenterm} + \underbrace{a_\mathrm s A^\frac{2}{3}}_\textnormal{Oberflächenterm} + \underbrace{a_\mathrm c \frac{Z^2}{A^\frac{1}{3}}}_\textnormal{Coulombterm} + \underbrace{a_\mathrm a \frac{\left(N-Z\right)^2}{4A}}_\textnormal{Asymmetrieterm} + \underbrace{\frac{\delta}{A^\frac{1}{2}}}_\textnormal{Paarungsterm} \end{equation} \begin{enumerate} \item Volumenterm \index{Volumenterm} \begin{itemize} \item $\propto A$: dominiert Bindungsenergie \item $\sim 16\ \frac{\unit{MeV}}{\textnormal{Nukleon}}$ \item Sättigungscharakter der starken WW (jedes Nukleon wechselwirkt nur mit seinen direkten Nachbarn) \item starke WW hat kurze Reichweite ($\sim \unit{fm}$) \end{itemize} \item Oberflächenterm \index{Oberflächenterm} \begin{itemize} \item $\propto A^\frac{2}{3}$ ($\widehat{=}$ Fläche, da Kernradius $R = r_0 \cdot A^\frac{1}{3}$) \item wichtig für Kerne mit kleinem $A$ \[ \frac{\textnormal{Oberfläche}}{\textnormal{Volumen}} = \frac{4\pi R^2}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3}{r_0 \cdot A^\frac{1}{3}} \quad \stackrel{A\textnormal{ groß}}{\longrightarrow} \ 0 \] \end{itemize} \item Coulombterm \index{Coulombterm} \begin{itemize} \item $\propto A^{-\frac{1}{3}}$ \item Abstoßung der pos. geladenen Protonen \item homogen geladene Kugel \[ E_\mathrm c = \frac{3}{5}\ \frac{Q^2}{R} \] \[ \longrightarrow E_\mathrm c = \frac{3}{5}\ \frac{Z\left(Z-1\right) e^2}{R} = \frac{3}{5}\ \frac{Z\left(Z-1\right)}{r_0\cdot A^\frac{1}{3}} \approx a_\mathrm c \frac{Z^2}{A^\frac{1}{3}} \] \end{itemize} \item Asymmetrieterm \index{Asymmetrieterm} \begin{itemize} \item QM-Effekt \item $\frac{N}{Z} \sim 1,5$ \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=100mm]{asym} \caption{Veranschaulichung des Asymmetrieterms \cite{cite4}} \label{fig:asym} \end{figure} \item Abb. \ref{fig:asym} $\Rightarrow N = Z \longrightarrow N > Z$ \[ \delta E \approx \frac{\left(N - Z\right)^2 \Delta E}{8} \qquad \qquad \Delta E \propto \frac{1}{\textnormal{Volumen}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi R^3} \propto \frac{1}{A} \] \[ \longrightarrow a_\mathrm a \frac{\left(N-Z\right)^2}{A} \qquad \textnormal{Fermi-Gasmodell für Kerne} \] \end{itemize} \item Paarungsterm \index{Paarungsterm} \begin{itemize} \item empirisch gefunden \item Stabilität für Kerne mit geradzahliger Besetzung von Proton und/oder Neutron wächst an \begin{tabular}{llllll} $8\Pp$ & $8\Pn$ & gerade & gerade & ${^{16}\mathrm O}$ & $\delta = -11,2 \frac{\unit{MeV}}{c^2}$ \\ $8\Pp$ & $9\Pn$ & gerade & ungerade & ${^{17}\mathrm O}$ & $\delta = 0$ \\ $7\Pp$ & $7\Pn$ & ungerade & ungerade & ${^{14}\mathrm N}$ & $\delta = +11,2 \frac{\unit{MeV}}{c^2}$ \end{tabular} \end{itemize} \end{enumerate} \section{Stabilität und Instabilität von Kernen} \index{Kerne!Stabilität} \label{sect:zerfall} 3 Klassen von Zerfällen: \index{Kerne!Zerfall} \begin{enumerate} \item[(a)] Desintegration \begin{itemize} \item $\alpha$-Zerfall \index{$\alpha$-Zerfall} \item Spaltung \index{Spaltung} \end{itemize} \item[(b)] Umwandlung der Proton- und Neutronenzahl \index{$\beta$-Zerfall} \begin{itemize} \item $Z \leftrightarrow N,\quad A = \mathrm{const}$ \item \begin{tabbing} $\beta^-$-Zerfall: $\qquad$ \= $(A,Z)$ \= $\longrightarrow (A, Z+1) + \Pem + \Pagne$\\ \>$\Pn$ \> $\longrightarrow \Pp + \Pem + \Pagne$ \end{tabbing} \item \begin{tabbing} $\beta^+$-Zerfall: $\qquad$ \= $(A,Z)$ \= $\longrightarrow (A, Z-1) + \Pep + \Pgne$\\ \>$\Pp$ \> $\longrightarrow \Pn + \Pep + \Pgne$ \end{tabbing} \item Elektroneneinfang: $\qquad (A,Z) + \Pem \longrightarrow (A,Z-1) + \Pgne$ Dieser Fall ist nur für schwere Kerne von Bedeutung, da hier die 1s-Elektronen (K-Schale) eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern haben, da ihre Orts-Wellenfunktion eine Überlappung mit dem Kernradius besitzt. \end{itemize} \item[(c)] Zerfälle innerhalb eines Kerns: \[ (A,Z)^* \longrightarrow (A,Z) + \gamma \] \end{enumerate} Für die Fälle (a) und (b) $\longrightarrow$ Stabilitätsgrenzen aus Bethe-Weizsäcker-Massenformel (Gleichung \ref{eq:bwm}) \begin{itemize} \item Stabilitätsgrenze für $\alpha$-Zerfall \[ M\left(A,Z\right) < M\left(A - 4, Z - 2\right) + M\left({^4\mathrm{He}}\right) \qquad \qquad \alpha\textnormal{-stabil} \] \item Stabilitätsgrenze für spontane Spaltung \[ M\left(A,Z\right) < 2\,M \left(\frac{A}{2},\frac{Z}{2}\right) \qquad \qquad \textnormal{sym. Spaltung} \] \item Stabilität für $\beta$-Zerfall \\ $A = \mathrm{const}\equiv \textnormal{Isobaren}$ \\ max. Bindungsenergie ($\Leftrightarrow$ min. Masse) Umschreiben der BW-Formel (Gl. \ref{eq:bwm}): \[ M(A,Z) = \alpha A - \beta Z + \gamma Z^2 \pm \frac{\delta}{A^{\frac{1}{2}} } \] mit: \[ \alpha = m_\Pn - a_\mathrm v + a_\mathrm s A^{-\frac{1}{3}} \] \[ \beta = a_\mathrm a + \bigl(m_\Pn - M(\mathrm H) \bigr) \] \[ \gamma = \frac{a_\mathrm a}{A} + \frac{a_\mathrm c}{A^\frac{1}{3}} \] für $A = \const$: quadr. Fkt. in $Z$ \begin{enumerate} \item \begin{tabbing} A ungerade \= $\Rightarrow$ entweder $Z$ oder $N$ ungerade \\ \> $\Rightarrow$ ug-Kern \\ \> $\Rightarrow$ eine Parabel \end{tabbing} \item \begin{tabbing} A gerade \= $\Rightarrow$ entweder beide, $Z$ und $N$, gerade oder ungerade\\ \>$\Rightarrow$ uu- oder gg-Kern\\ \>$\Rightarrow$ zwei Parabeln, Abstand $\frac{2\delta}{A^{\frac{1}{2}}}$ \end{tabbing} \end{enumerate} \end{itemize} (u,g) - Isobaren haben 1 stabiles Isobar \\ (u,u) - Isobaren haben kein stabiles Isobar \\ (g,g) - Isobaren haben 1, 2 oder 3 stabile Isobare \begin{tabbing} $\beta^-$-\=Zerfall energetisch erlaubt:\\ \>$M(Z,A)>M(Z+1,A)$\\ \>(atomare Massen beinhalten Elektronenmassen)\\ $\beta^+$-\>Zerfall energetisch erlaubt:\\ \>$M(Z,A)>M(Z-1,A) + 2 m_\Pe $\\ EC\> Elektroneneinfang energetisch erlaubt:\\ \>$M(Z,A)>M(Z-1,A) + \varepsilon$\\ \>$\varepsilon$ ist die Bindungsenergie des eingefangenen Elektrons\\ \>Größen\=ordnungen von $\varepsilon$ (K-Schale):\\ \>\>$\varepsilon_\mathrm K = \frac{1}{2} Z^2 \alpha^2 m_\Pe c^2 = Z^2 E_\mathrm R$\\ \>\>${^{238}_{\ 92}U}: \varepsilon_\mathrm K\backsim100\unit{keV}$ \end{tabbing} 3 Fälle für $\Delta M=M(Z,A)-M(Z-1,A)>0$: \begin{enumerate} \item $0 < \Delta M < \varepsilon \qquad$ kein Zerfall \item $\varepsilon \leq \Delta M < 2m_\Pe \qquad$ nur EC \item $2m_\Pe \leq \Delta M \qquad$ EC und $\beta^+$-Zerfall \end{enumerate} \section{Ladungsabhängigkeit der Kernkraft; Isospin} \begin{itemize} \item $m_{\Pp}\approx m_{\Pn}$ \item Proton und Neutron verhalten sich "`gleich"' bezüglich der starken Wechselwirkung \end{itemize} \subsection{Beobachtung im Experiment} \begin{itemize} \item Energieniveaus von Spiegelkernen sind identisch \\ (Korrektur durch Coulomb-Energie) \item gleiche Quantenzahlen $J^P$ \item gleiche Abfolge der Zustände \item gleiche Energieaufspaltung \end{itemize} \subsubsection*{Beispiel:} $^{14}_{\ 6}$C, $^{14}_{\ 7}$N, $^{14}_{\ 8}$O: \begin{itemize} \item Bei $^{14}$N finden wir die gleichen Zustände wie bei $^{14}$C und $^{14}$O, aber zusätzlich weitere Zustände \item $^{14}$O $\mathrel{\widehat{=}}$ [$^{12}$C] + \Pp\Pp\\ $^{14}$N $\mathrel{\widehat{=}}$ [$^{12}$C] + \Pn\Pp\\ $^{14}$C $\mathrel{\widehat{=}}$ [$^{12}$C] + \Pn\Pn \item alle gemeinsamen Zustände $\Rightarrow$ triplet-Zustand \item Zustände nur bei $^{14}$N $\Rightarrow$ singlet-Zustand \end{itemize} \subsection{Konzept des Isospin} \index{Isospin} \begin{itemize} \item Nukleon: Isospin-Dublett \begin{tabbing} $I=\frac{1}{2}$\qquad \= $I_z=+\frac{1}{2}$ \qquad Proton\\ \> $I_z=-\frac{1}{2}$ \qquad Neutron \end{tabbing} \item Isospin-Triplet: $\Pgpp$, $\Pgpz$, $\Pgpm$ \qquad $I=1$ \item Zwei-Nukleon-System: \begin{tabbing} \Pp\Pp:\qquad $I_z=+1$\qquad \=$\Rightarrow \qquad I=1$ möglich\\ \Pp\Pn:\qquad $I_z=0$ \qquad \>$\Rightarrow \qquad I=1$,$0$ möglich\\ \Pn\Pn:\qquad $I_z=-1$\qquad \>$\Rightarrow \qquad I=1$ möglich \end{tabbing} \item Isospin eines Kerns:\qquad $\displaystyle I_z^\mathrm{Kern}=\sum{I_z^\mathrm{Nukleonen}}=\frac{Z-N}{2}$ \end{itemize} \section{Geometrische Form der Kerne} \index{Kerne!geometrische Form} Wie können wir Ausdehungen von $10^{-15}\unit m$ untersuchen (Größenordnung aus dem \\ Rutherford-Experiment bekannt) \subsection*{Nachteile von Streuexperimenten mit $\alpha$, \Pp, \Pn:} \begin{itemize} \item ausgedehnte Probe \item Teilchen wechselwirken stark, starke Wechselwirkung nicht gut verstanden \end{itemize} also: Leptonenstreuung (\Pem, \Pgmm) \index{Leptonenstreuung} \subsection*{Vorteile:} \begin{itemize} \item Probe punktförmig \item elektro-magnetische Wechselwirkung sehr gut verstanden \end{itemize} \subsection{Elektronen-Streuexperimente} \index{Streuexperiment!mit Elektronen} \begin{tabular}{ll} $\vec{p}$: & Impuls des einlaufenden \Pem\\ $\vec{p'}$: & Impuls des auslaufenden \Pem\\ $\vec{q}=\vec{p}-\vec{p'}$: & Impulsübertrag \end{tabular} \begin{fmffile}{streu1} \fmfframe(20,15)(0,10){ \begin{fmfgraph*}(80,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfblob{.15w}{v3} \fmflabel{$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pem$}{i2} \fmflabel{$Ze$}{v3} \fmf{fermion}{i1,v1,i2} \fmf{fermion}{o1,v3,o2} \fmf{photon,label=$\gamma^*$,l.side=right}{v1,v3} \fmffreeze \fmfi{plain}{vpath (__o1,__v3) shifted (thick*(-1.5,-0.5))} \fmfi{plain}{vpath (__o1,__v3) shifted (thick*(1.25,1))} \fmfi{plain}{vpath (__v3,__o2) shifted (thin*(2,-1.5))} \fmfi{plain}{vpath (__v3,__o2) shifted (thin*(-2.5,1))} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} \subsection{Virtuelles und reelles Teilchen} \index{virtuelles Teilchen} \begin{tabular}{lll} $E^{2}-\vec{p}\,^{2}\cdot c^{2} = m_{0}c^{4}$ & reelles Teilchen & ,,Teilchen ist auf der Massenschale``\\ $E^{2}-\vec{p}\,^{2}\cdot c^{2} \neq m_{0}c^{4}$ & virtuelles Teilchen & ,,Teilchen ist nicht auf seiner Massenschale`` \end{tabular} \subsubsection*{Photonen:} \begin{tabular}{lll} reell:\qquad $m_{0}=0$ \qquad\qquad & $E^{2}-\vec{p}^{2}\cdot c^{2} = 0$ & \\ virtuell: & $E^{2}-\vec{p}^{2}\cdot c^{2} < 0$: \qquad & raumartige Photonen\\ & $E^{2}-\vec{p}^{2}\cdot c^{2} > 0$: & zeitartige Photonen \end{tabular} \begin{fmffile}{streu2} \fmfframe(15,5)(10,13){ \begin{fmfgraph*}(80,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmflabel{$e^-$}{i1} \fmflabel{$e^-$}{i2} \fmflabel{$e^+$}{o1} \fmflabel{$e^+$}{o2} \fmf{fermion}{i1,v1,i2} \fmf{fermion}{o2,v2,o1} \fmf{photon,label=$\Pgg$}{v1,v2} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} \Pem-Streuung (raumartig): $\Pem + \Pep \longrightarrow \Pem + \Pep$ \bigskip \\ \begin{fmffile}{streu3} \fmfframe(16,10)(10,15){ \begin{fmfgraph*}(60,80) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmflabel{$e^-$}{i1} \fmflabel{$e^+$}{i2} \fmflabel{$e^+$}{o1} \fmflabel{$e^-$}{o2} \fmf{fermion}{i2,v1,o2} \fmf{fermion}{i1,v2,o1} \fmf{photon,label=$\Pgg$}{v1,v2} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} Annihilation/Paarbildung (zeitartig): $\Pem + \Pep \longrightarrow \Pgg \longrightarrow \Pem + \Pep$ \subsubsection*{\Pem-Streuung} \index{Elektron-Streuung} \begin{itemize} \item virtuelles Photon trägt Impuls $\vec{q}$ \item Auflösung des virtuellen Photons: \[\lambda=\frac{\hbar}{q}=\frac{\hbar c}{q c}=\dfrac{200 \unit{MeV} \unit{fm}}{q c}\] \[\Rightarrow q\sim 200 \frac{\unit{MeV}}{c}\] \item \Pem-Energien $E_{\Pem}>0,5 \unit{GeV}$\\ $\Rightarrow$ relativistische Beschreibung des Streuprozesses \end{itemize} \subsubsection*{4-Vektoren:} \[\fvec x =(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(ct,\vec{x})\] \[\fvec P=(P_{0},P_{1},P_{2},P_{3})=(\frac{E}{c},\vec{p})\] \[\fvec P^{2}=\frac{E^{2}}{c^{2}}-\vec{p}=m_{0}^{2}c^{4}\] \subsection{Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts} \index{Wirkungsquerschnitt!Elektron-Streuung} \subsubsection{Einfachster Fall:} \begin{itemize} \item Spin$=0$ \item Ausdehnung des Kerns klein \item Kern unendlich schwer \end{itemize} \begin{eqnarray} \left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Ruth}} & = & \left( \dfrac{z Z\,e^2}{16 \pi\,E_{\mathrm{kin}}}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{\sin^4\left(\frac{\theta}{2}\right)} \qquad \text{(siehe Gl. \ref{eq:rutherford}) umformen in}\nonumber\\ \left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Ruth}} & = & \dfrac{4 Z^2 \alpha^2 (\hbar c)^2 E'^2}{|\vec{q}c^4|} \qquad \text{mit} \qquad\alpha=\dfrac{e^2}{4 \pi}=\dfrac{1}{137} \end{eqnarray} %evtl. Bild zum Kosinussatz \begin{eqnarray*} E&=&E'\\ |\vec{p}|&=&|\vec p\,'|\\ q^2 & = & p^2+p'^2-2pp'\cos \theta\\ & = & 2p^2(1-\cos \theta)\\ & =& 4p^2\sin^2 \frac{\theta}{2}\\ \end{eqnarray*} \subsubsection{Erste Korrektur:} \begin{itemize} \item Elektron hat Spin $\frac{1}{2} \longrightarrow$ Mott-Wirkungsquerschnitt \index{Wirkungsquerschnitt!Mott} \begin{eqnarray} \longrightarrow\left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Mott}} & = & \left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Ruth}}\cdot \left( 1-\beta^2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right), \qquad \beta=\frac{v}{c}\approx 1\nonumber\\ & = & \left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Ruth}}\cdot \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{eqnarray} \item Helizität $h=\dfrac{\left(\vec s \cdot \vec p\right)}{|\vec s| \cdot |\vec p|}, \qquad \beta=1 \Rightarrow h=\pm 1$ \item elektro-magnetische Wechselwirkung erhält $h \Rightarrow$ für $\theta=180$°: $\dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega}=0$ %bild zur helizität \end{itemize} \subsubsection{Zweite Korrektur:} \begin{itemize} \item Kern hat Ausdehung $\longrightarrow$ Formfaktoren \index{Formfaktor} \item Beobachtung: $\left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Exp}}$ fällt stärker ab als $\left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Mott}}$ \item Erklärung: virtuelles Photon ,,sieht`` nur Teile der Gesamtladungsverteilung \begin{equation} \longrightarrow\left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Exp}} = \left( \dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} \right)_{\mathrm{Mott}}\cdot \underbrace{\left|F(q^2)\right|^2}_{\text{Formfaktor}} \end{equation} \end{itemize} \subsection{Formfaktor} Formfaktor ist Fourier-Transformierte der Ladungsverteilung \begin{equation} F(q^2) = \int\! \e^{i\frac{(\vec q \cdot \vec r)}{\hbar}} f(\vec r)\,\dd^3r \end{equation} sphärische Symmetrie: $f(\vec r) = f(r)$ \[F(q^2) = 4\pi\!\int\! f(r)\ \frac{\sin\left(\frac{q\cdot r}{\hbar}\right)}{\frac{q\cdot r}{\hbar}}\ r^2\,\dd r \] mit Norm \[ \int\! f(\vec r)\,\dd^3r =\!\int\limits_0^\infty\int\limits_{-1}^{+1}\int\limits_0^{2\pi}\! f(r)\, r^2\,\dd\varphi\ \dd\cos\theta\ \dd r = 4\pi\!\int\limits_0^\infty\! f(r)\,r^2\,\dd r = 1\] Für spezielle Fälle von $f(r)$ kann $F(q^2)$ analytisch bestimmt werden. \bigskip \begin{tabular}{|ll|cll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Ladungsverteilung} \mbox{\boldmath $f(r)$}} & \textbf{Formfaktor} \mbox{\boldmath $F(q^2)$} & & \\ \hline Punkt & $\frac{\delta(r)}{4\pi}$ & 1 & Konstant & \Pem \\ \hline exponentiell & $\frac{a^3}{8\pi} \e^{-\alpha r}$ & $\left(1 + \frac{q^2}{a^2\hbar^2}\right)^{-2}$ & Dipol & \Pp \\ \hline Gauß & $\left(\frac{a^2}{2\pi}\right)^{\frac{3}{2}}\e^{\frac{-a^2r^2}{2}}$ & $\e^{\frac{-q^2}{2a^2\hbar^2}}$ & Gauß & z.B. $^6$Li \\ \hline hom. gel. & \multicolumn{1}{r|}{$\frac{3}{4\pi R^3} \textnormal{ für }r\leq R$} & \begin{footnotesize}$3\left(\frac{\hbar}{qR}\right)^3\left(\sin\left(\frac{qR}{\hbar}\right)-\frac{qR}{\hbar} \cos\left(\frac{qR}{\hbar}\right) \right)$\end{footnotesize} & osz. & \\ Kugel & \multicolumn{1}{r|}{$0\quad\textnormal{ für }r > R$} & \begin{small}$\rightarrow$ Min. bei $\frac{qR}{\hbar}=4,5$ \end{small} & & \\ \hline \end{tabular} \bigskip \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=85mm]{formfaktor} \caption{Formfaktoren} \label{fig:formfaktor} \end{figure} $\sqrt{q^2} = \sqrt{4\frac{E^2}{c^2}\sin^2\left( \frac{\theta}{2}\right)} \qquad \qquad$ Min. von $\frac{\dd \sigma}{\dd \Omega}$ bei 51° \[\Rightarrow q = 380 \frac{\unit{MeV}}{c} \] \[ R = \frac{4,5\hbar}{q} = \frac{4,5 \hbar}{380 \frac{\unit{MeV}}{c}} = 2,4 \unit{fm} \] \subsubsection{Ladungsverteilung} $\rho(\vec r) = $ const \quad innerhalb des Kerns, kein scharfer Kernrand \[\rho(r) = \frac{\rho(0)}{1 + \e^{\frac{r-c}{a}}} \qquad\qquad\qquad a = 0,545 \unit{fm} \] \[ r = c \Rightarrow \rho(r) = \frac{1}{2} \rho_0 \] mean square radius: $ \left\langle r^2\right\rangle = \dfrac{\int\! \rho(\vec r)\, r^2\, \dd^3r}{\int\! \rho(\vec r)\, \dd^3r} $ \[\sqrt{\left\langle r^2\right\rangle} = r_0\ A^\frac{1}{3} \qquad\qquad\qquad r_0 = 0,94 \unit{fm} \] hom. gel. Kugel: $R = \frac{5}{3} \left\langle r^2\right\rangle_\mathrm{Kugel}$ \[\Rightarrow R = R_0\ A^\frac{1}{3} \qquad\qquad\qquad R_0 = 1,2 \unit{fm} \] \chapter{Stabilität der Kerne, Radioaktivität} \index{Radioaktivität} \index{Kerne!Stabilität} \section{Allgemeine Aspekte} \subsection{Zerfallsgesetz} \index{Radioaktivität!Zerfallsgesetz} \index{Zerfallsgesetz} \begin{itemize} \item Radioaktive Zerfälle sind statistische Prozesse ($\alpha$, $\beta^{\pm}$) \item Zerfallswahrscheinlichkeit $\lambda = \frac{\dd P}{\dd t} = \text{const.}$, zeitunabhängig \item Zerfälle pro Zeit, Aktivität \[\frac{\dd N}{\dd t}=-\lambda N=-A(t) \qquad A= \text{Aktivität}\] \[[A]=1 \unit{Bequerel} \equiv 1 \unit{Bq}=1 \frac{\text{Zerfall}}{\unit{s}}\] \[N(t)=N_{0}\cdot \e^{-\lambda t}\] \[A(t)=A_{0}\cdot \e^{-\lambda t}\qquad A_{0}=A(t=0)=\lambda N_{0}\] \item Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}:\dfrac{N(T_{\frac{1}{2})}}{N_{0}}=\dfrac{1}{2}=\e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}} \qquad \Rightarrow T_{\frac{1}{2}}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ \item mittlere Lebensdauer $\tau: \dfrac{N(\tau)}{N_{0}}=\dfrac{1}{\e}\qquad \Rightarrow \tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{T_{\frac{1}{2}}}{\ln 2}$ \item Messung der Lebensdauer: \begin{itemize} \item über die Zeitabhängigkeit von $A(t)$ \emph{oder} \item Messung zur Zeit $t_{1}: A(t_{1}), N(t_{1})$ \end{itemize} \item Radioaktive Zerfallskette \index{Radioaktivität!Zerfallskette} \index{Zerfallskette} \[N_1 \stackrel{\lambda_1}{\longrightarrow} N_2 \stackrel{\lambda_2}{\longrightarrow} N_3\] \[\dot{N_i}=\underbrace{\lambda_{i-1}N_{i-1}}_\text{Produktion}-\underbrace{\lambda_i N_i}_{\text{Zerfall}}\] \item Radioaktives Gleichgewicht: $\dot{N_i}=0$ \index{Radioaktivität!Gleichgewicht} \begin{eqnarray} \dfrac{\dd N_1}{\dd t} & = & - \lambda_1 N_1\\ \dfrac{\dd N_2}{\dd t} & = & \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2 \label{eq:ra1}\\ \dfrac{\dd N_3}{\dd t} & = & \lambda_2 N_2 \end{eqnarray} $\mid3 \rangle$ stabil und $N_2(0)=N_3(0)=0$\bigskip\\ $\eqref{eq:ra1}\cdot \e^{\lambda_2 t} \Rightarrow$ \begin{eqnarray*} \dfrac{\dd N_2}{\dd t}\cdot \e^{\lambda_2 t}+\lambda_2 N_2\cdot \e^{\lambda_2 t} & = & \lambda_1 N_1(0)\cdot \e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t}\\ & = & \dfrac{\dd}{\dd t} (N_2\cdot \e^{\lambda_2 t}) \end{eqnarray*} Integration liefert: \begin{equation} N_2\cdot \e^{\lambda_2 t}=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_1(0)\cdot \e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t}+C \label{eq:ra2} \end{equation} mit $N_2(0)=0 \Rightarrow$ \[C=-\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot N_1(0)\] $\eqref{eq:ra2}\cdot \e^{-\lambda_2 t} \Rightarrow$ \[N_2(t)=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot N_1(0)\cdot (\e^{-\lambda_1 t}-\e^{-\lambda_2 t})\] \item Produktion von radioaktiven Substanzen \begin{itemize} \item Produktionsrate $P=\text{const.}$ \[\dfrac{\dd N}{\dd t}=-\lambda N + P\qquad \text{integrieren}\Rightarrow N(t)=\dfrac{P}{\lambda}\cdot (1-\e^{-\lambda t})\] \item für $\dfrac{t}{T_{\frac{1}{2}}}\cong 3$ erreicht man ca. $97 \%$ der Endaktivität \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Radioaktive Einheiten} \index{Einheiten!Radioaktive Einheiten} \[1 \unit{Bequerel} \equiv 1 \unit{Bq}=1 \frac{\text{Zerfall}}{\unit s}\] \[1 \unit{Curie} \equiv 1 \unit{Ci}=1 \frac{3,7\cdot 10^{10}}{\unit s} \qquad\text{(1 g Radium im radioaktiven Gleichgewicht)}\] \begin{itemize} \item Ionisationsdosis: \begin{eqnarray*} 1 \unit{R"ontgen} \equiv 1 \unit{R} & = & \text{Ionendosis, die gerade } 2\cdot 10^9 \text{ Ionenpaare pro ml Luft produziert}\\ & = & 2,58\cdot 10^{-4}\frac{\unit{C}}{\text{kg Luft}} \end{eqnarray*} \item Energiedosis pro Masse: \[[D]= 1 \unit{Grey} \equiv 1 \unit{Gy}=1 \frac{\unit{J}}{\unit{kg}}\] \[\text{alte Einheit: }1 \unit{rad} \equiv 1 \unit{rd} = 10^{-2} \unit{Gy}\] \item Biologische Dosis: \[B=q\cdot D\] \[[B]= 1 \unit{Sievert} \equiv 1 \unit{Sv}\] \subsubsection*{Tabelle: Qualitätsfaktoren:} \index{Qualitätsfaktoren} \index{Radioaktivität!Qualitätsfaktoren} \begin{tabular}{|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Teilchenart} & \multicolumn{1}{|c|}{Qualitätsfaktor $q$}\\ \hline $\gamma, \Pem$ & 1 \\ $\Pn (100-2000 \unit{keV})$ & 20 \\ $\Pn (2-20 \unit{MeV})$ & 10 \\ $\Pn (\>20 \unit{MeV})$ & 5 \\ $\alpha$ & 20 \\ \hline \end{tabular} \begin{itemize} \item natürliche Strahlenbelastung pro Jahr: $\sim \dfrac{2 \unit{mSv}}{\mathrm a}$ \item tödlich: $\sim 6-7 \unit{Sv}$ \end{itemize} \subsubsection*{Zivile Strahlenbelastung} \begin{itemize} \item 1 Röntgenuntersuchung: $\sim 1,5 \unit{mSv}$ \item 100h Farbfernsehen (Abstand 0,5m): $\sim 0,12 \unit{mSv}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Natürliche Radioaktivität} \index{Radioaktivität!natürliche} \begin{itemize} \item keine stabilen Kerne $\> {^{208}\mathrm{Pb}}$ \end{itemize} \subsubsection*{Tabelle: Natürliche Radioaktivität:} \begin{tabular}{|l|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Kette} & \multicolumn{1}{|c|}{Kern} & \multicolumn{1}{|c|}{stabil} & \multicolumn{1}{|c|}{$T_{\frac{1}{2}} [\unit{a}]$} \\ \hline Thorium & ${^{232}\mathrm{Th}}$ & ${^{208}\mathrm{Pb}}$ & $1,4\cdot 10^{10}$ \\ Neptunium & ${^{237}\mathrm{Np}}$ & ${^{207}\mathrm{Bi}}$ & $2,4\cdot 10^{6}$ \\ Uran & ${^{238}\mathrm{U}}$ & ${^{206}\mathrm{Pb}}$ & $4,5\cdot 10^{9}$ \\ & ${^{235}\mathrm{U}}$ & ${^{207}\mathrm{Pb}}$ & $7\cdot 10^{8}$ \\ \hline \end{tabular} \subsection{Methode zur Altersbestimmung} \index{Radioaktivität!Altersbestimmung} index{Altersbestimmung} Universum $\sim 1,3 \cdot 10^9 \unit a$ \bigskip \\ \underline{Bsp.} $^{14}$C, $T_\frac{1}{2} = 5730 \unit a$ \begin{itemize} \item Produktion in der Atmosphäre: $\Pn + {^{14}\mathrm N} \to {^{14}\mathrm C} + \Pp$ \item Lebewesen nehmen CO$_2$ auf und lagern im Gewebe $^{12}$C und $^{14}$C ein \item Produktion von $^{14}$C (rad. Kerne) muss bekannt sein \item Austausch mit der Umgebung muss bekannt sein \item bestimmbarer Alterszeitraum: $1000-30000$ Jahre \item Ötzi: $(5750 \pm 50)$ Jahre \end{itemize} %EINFÜGEN: Zeichnung zur Entwicklung von 14C/12C \section{Alpha-Zerfall} \index{$\alpha$-Zerfall} \subsection{Tunneleffekt} %EINFÜGEN: Grafik Potentialverlauf Alpha-Zerfall $^{232}$U: Bindungsenergie und Separationsenergie für: \\ \begin{tabular}{|r|r|r|} \hline Teilchen & $B_c [\unit{MeV}]$ & $S [\unit{MeV}]$ \\ \hline \Pn & & 7,15 \\ \Pp & & 6,05 \\ d & 2,2 & 10,5\\ t & 8,5 & 10.1 \\ $^3$He & 7,7 & 9,6 \\ $^4$He & 28,3 & -5,4 \\ \hline \end{tabular} \bigskip $^{210}\mathrm{Pb} \to {^{206}\mathrm{Pb}} + \alpha \qquad\qquad T_\frac{1}{2} = 138 \unit d \qquad E_\alpha = 5,3 \unit{MeV}$ \bigskip\\ Coulomb-Potential: \[ R' = R\left({^{206}\mathrm{Pb}}\right) + R_\alpha \qquad\qquad R_\alpha = 1,5\unit{fm} \qquad R\left({^{206}\mathrm{Pb}}\right) = r_0 A^\frac{1}{3} = 1,2\unit{fm} \cdot 206^\frac{1}{3} = 7,1 \unit{fm}\] \[\Rightarrow V\left(R'\right) = \frac{2\cdot 82\cdot 1,44 \unit{MeV}}{8,6\unit{fm}} = 27,5 \unit{MeV} \] \begin{description} \item[Klassisch:] Coulombbarriere $\sim 27,5\unit{MeV}$, $\alpha$-Separationsenergie $\sim5,4\unit{MeV}$ \\ $\Rightarrow$ Überwinden der Barriere klassisch nicht möglich \item[QM:] Tunneln! \\Quantenmechanisch ist ein durchtunneln der Potentialbarriere möglich. \\Vereinfachtes Modell: Betrachte Coulombwall als kastenförmigen Potentialwall \\ (Zeichnung \ref{fig:potential}). \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics{potentialtopf} \caption{Potentialwall-Modell für Coulombbarriere \cite{cite5}} \label{fig:potential} \end{figure} \\$\Rightarrow$ Schrödingergl: \[\left[ \frac{\dd^2}{\dd x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-V(x)\right)\right] u(r) = 0\] \\$\Rightarrow$ Lösungsansatz: \begin{multline*} 1: u_1=A_1\e^{ik_1x}+B_1\e^{-ik_1x}\\ 2: u_2=A_2\e^{ik_2x}+B_2\e^{-ik_2x}\\ 3: u_3=A_3\e^{ik_1x}\\ \end{multline*} $\Rightarrow$ Randbedingungen: \begin{multline*} u_1(0)=u_2(0)\qquad u_1'(0)=u_2'(0)\\ u_2(d)=u_3(d)\qquad u_2'(d)=u_3'(d)\\ \end{multline*} $\Rightarrow$Transmissionsfaktor: \[T=\frac{|\Psi_{out}|^2 v_{out}}{|\Psi_{in}|^2 v_{in}}\] Übungen: $\Rightarrow$ \[T=\e^{-G}\qquad G=\frac{2}{\hbar}\sqrt{2m(V_0-E)}\ d\] \\Nun zurück zum Coulombwall: Ersetze das Kastenpotential durch Coulombwall: \[G=\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\int \limits_R^{R'}\left( \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r}-E\right)^{\frac{1}{2}}\dd r\] \[\Rightarrow G=\frac{2}{\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}}\ \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\ \arccos\left( \sqrt{\frac{R}{R'}}-\sqrt{\frac{R}{R'}\left( 1-\frac{R}{R'}\right) }\right) \] \[\Rightarrow G\sim\frac{1}{\sqrt{E}}\qquad\tau\sim \e^G\qquad \Rightarrow \ln \tau \sim \frac{1}{\sqrt{E}}\] (vgl. experimentelle Messung von 1911: Geiger-Nuttal-Regel) \end{description} \section{Spaltung von Kernen} %Hier muss noch die dazugehörige Zeichnung hin Schwere Kerne zerfallen: $m(A,Z)>m(A_1,Z_1)+m(A_2,Z_2)$\newline Aber: Sattelpunktsenergie $\Delta E_\mathrm{SP}$ muss überwunden werden.\newline $\Rightarrow$Ellipsoide Verformung eines Kerns. Der Kern wird zu einem Ellipsoid mit einem Kreisförmigen (Radius $b=R(1-\varepsilon)$) und einem elliptischen (große Halbachse $a=R(1+\varepsilon)$) Querschnitt verformt. Oberfläche $O=4\pi R^2\ (1+\frac{2}{5}\varepsilon+\ldots)$\smallskip Coulomb-Energie $E_\mathrm c=\dfrac{3}{5}\,\dfrac{e^2Z^2}{R}\ \left(1-\dfrac{1}{5}\varepsilon+\ldots\right)$ \subsubsection*{Tröpfchenmodell:} \index{Tröpfchenmodell} \index{Kernmodelle!Tröpfchenmodell} \begin{description} \item[steigene Oberflächenenergie] \[E_\mathrm s=a_\mathrm s\,A^{\frac{2}{3}} \left( 1+\frac{2}{5}\varepsilon^2\right) \] \item [verminderte Coulombenergie] \[E_\mathrm c=a_\mathrm c\,Z^2A^{-\frac{1}{3}}\left( 1-\frac{1}{5}\varepsilon^2\right) \] \item [$\Rightarrow$Deformationsenergie] \begin{eqnarray*} E_\mathrm D=E_\mathrm s+E_\mathrm c=\varepsilon^2\left( \frac{2}{5}a_\mathrm s\,A^{\frac{2}{3}}-\frac{1}{5}a_\mathrm c\,Z^2 A^{-\frac{1}{3}}\right)\\ =\varepsilon^2\left(7,34\,A^{\frac{2}{3}}-0,14\,Z^2 A^{-\frac{1}{3}}\right)\\ \end{eqnarray*} \end{description} Ist $E_\mathrm D<0$ kann sich der Kern ohne äußere Einwirkung verformen. Es kommt zu einer spontanen Spaltung. Dies ist etwa der Fall bei $Z^2>50A$. Ist $E_\mathrm D>0$ ist nur eine induzierte Spaltung möglich, dass heißt die Verformung muss von außen (z.B. durch thermische Neutronen) angeregt werden. \section{Beta-Spektroskopie} \index{$\beta$-Spektroskopie} \subsection{Historischer Überblick} \begin{labeling}{0000:} \item[1914:] Chadwick: $\beta$-Spektrum $\rightarrow$ Energieerhaltung? \item[1930:] W. Pauli: Neutrino-Hypothese \index{Neutrino} \begin{itemize} \item neutral \item Spin $\frac{1}{2}$ \item Masse $\approx 0$ \end{itemize} \item[1932:] Chadwick: Enddeckung des Neutrons \item[1934:] Fermi: Erster theoretischer Ansatz zur Erklärung des $\beta$-Spektrums \item[1952:] Rodebach, Allen: indirekter Neutrino-Nachweis \item[1956:] Lee, Yang: Vorhersage der Verletzung der Paritätserhaltung duch die\\ schwache Wechselwirkung \item[1957:] Wu-Experiment, Goldhaber-Experiment \end{labeling} \subsection{Beta-Spektrum} Beim $\beta^+$- bzw. $\beta^-$-Zerfall handelt es sich um ein Drei-Körper-Problem (vgl. Abschnitt \ref{sect:zerfall}). Anders als beim $\alpha$-Zerfall (oder bei den EC-Neutrinos) ist also nicht mit Stahlung mit diskreter Energie, sondern mit einem kontinuierlichen Energie-Spektrum zu rechnen. Dieses lässt sich quantenmechanisch berechnen: Ausgangspunkt der Rechnung ist Fermis Goldene Regel, die ein Impulsspektrum der emittierten Elektronen-Strahlung beschreibt: \index{Fermis Goldene Regel} \begin{equation} \mathrm N (p) \dd p = \frac{2 \pi}{\hbar}\bigl\vert\langle f \lvert \mathrm H \rvert i \rangle \bigr\vert^2 \frac{\dd n}{\dd E_0} \end{equation} Die einzelnen Komponenten haben dabei folgende Bedeutungen: \begin{itemize} \item N$(p) \dd p$: Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, ein \Pem mit Impuls zwischen $p$ und $p +\delta p$ auszusenden \item $\langle f \lvert \mathrm H \rvert i \rangle = \mathrm H_{fi}$: Matrixelement für den Übergang von $\lvert i \rangle$ nach $\lvert f \rangle$ \item $\dfrac{\dd n}{\dd E_0}$: Zustandsdichte pro Energieintervall \end{itemize} Das Übergangselement kann für ein gegebenes Atom als konstant angenommen werden. Es sind also vor allem die Anzahl der möglichen Zustände für ein $\Pem (\Pagn)$ in einem bestimmten \\ Kernvolumen $\tau$ und Impulsintervall $[p,p+dp]$ zu berechnen: \[ \dd n_{\Pem} = \frac{\tau\, p_{\Pem}^2 \dd p_{\Pem}}{2\pi^2\hbar^3} \quad , \quad \dd n_{\Pagn} = \frac{\tau\, p_{\Pagn}^2\, \dd p_{\Pagn}}{2\pi^2\hbar^3} \] Die Gesamtbesetzungswahrscheinlichkeit ergibt sich nun als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, so dass wir folgendes erhalten: \[ \frac{\dd n}{\dd E_0} = \frac{\dd n_{\Pem} \dd n_{\Pagn} }{\dd E_0}=\frac{\tau^2}{4 \pi^4 \hbar^6}\, p_{\Pem}^2 p_{\Pagn}^2\, \frac{\dd p_{\Pem} \dd p_{\Pagn}}{\dd E_0} \] Um diesen Term weiter zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Ruhemasse des Neutrinos verschwindet, und außerdem der Impulsübertrag auf den Kern zu vernachlässigen ist. Für eine Gesamtenergie $E_0$ ergibt sich dann der Zusammenhang \[E_0 = E_{\Pem}+ E_{\Pagn},\] wobei $E_{\Pem}$ die Gesamtenergie des $\Pem$ und $E_{\Pagn}$ die Gesamtenergie des $\Pagn$ darstellt. Wegen unserer Annahme der Massefreiheit des Neutrinos können wir nun weiter vereinfachen: \[ p_{\Pagn}=\frac{E_{\Pagn}}{c}= \frac{E_0 - E_{\Pem}}{c} \qquad \qquad \frac{\dd p_{\Pagn}}{\dd E_0}=\frac{1}{c} \] \[ \Rightarrow\frac{\dd n}{\dd E_0} =\frac{\tau^2}{4 \pi^4 \hbar^6 c^3}\, p_{\Pem}^2 (E_0 - E)^2 \dd p_{\Pem} \] Setzt man diese Zustandsdichte nun wieder in Fermis goldene Regel ein, so errhält man: \[ N(p)\dd p = \frac{\tau^2\mathrm H_{fi}}{2 \pi \hbar^7 c^3}\, p_{\Pem}^2 (E_0 - E)^2 \dd p_{\Pem}=:C \cdot p^2 \cdot (E_0-E)^2 \dd p \] \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{fermi} \caption{Verschiebung des $\beta$-Spektrums durch die Interaktion mit dem Coulombfeld für $\beta^+$- und $\beta^-$-Zerfall \cite{bib:fermi}} \label{fig:fermi} \end{center} \end{figure} Dieses Spektrum ist symmetrisch zu seinem Peak (Kurve "`Z=0"' in Abbildung \ref{fig:fermi}). In der Realität beobachtet man jedoch ein asymmetrisches Spektrum (Abbildung \ref{fig:fermi}). Dies kommt durch die Coulomb-Wechselwirkung des frisch entstandenen $\Pem$ bzw. $\Pep$ mit dem Kern-Potential zustande. Man trägt dieser Tatsache durch die Einführung eines weiteren Koeffizienten, der Fermi-Funktion $F(Z,p)$, Rechnung. \begin{eqnarray} F(Z,p) &=& \left \vert \frac{\Psi_{\Pem}(0)_\mathrm{Coulomb}}{\Psi_{\Pem}(0)_\mathrm{frei}}\right \vert^2 \nonumber\\ \mathrm N (p) \dd p &=& C \, F(Z,p)\,p^2\,(E_0-E)^2\,\dd p \label{eq:ra4} \end{eqnarray} Für die Fermi-Funktion gilt bei den verschiedenen Zerfalls-Arten: \[\beta^-: \quad F(Z,p) > 1 \, , \qquad \beta^+: \quad F(Z,p) < 1\] Die entscheidende Charakteristik eines $\beta$-Zerfalls ist die Gesamtenergie $E_0$, die gleichzeitig die Maximalenergie der emittierten Elektronen darstellt. Da diese aus dem Graphen nur schwer abzulesen ist, führt man den Kurie-Plot ein. Durch Umstellen und radizieren von Gleichung \eqref{eq:ra4} erhält man: \index{Kurie-Plot} \begin{equation} \sqrt{\frac{\mathrm N(p)}{F(Z,p)p^2}}=C' \, (E_0-E) \end{equation} Offensichtlich handelt es sich hierbei um einen linearen Zusammenhang, aus dessen Achsen-Abschnitt sich die Maximalenergie direkt bestimmen lässt. \subsection*{Berücksichtigung der Neutrinomasse} \index{Neutrino}\index{Neutrino!Masse} %fixme Bild Kurieplot bisher: $m_{\Pgn} \approx 0 \, \quad$ jetzt: $m_{\Pgn}c^2 > 0$ \\ $\beta$-Spektrum: $E_{\mathrm{max}} = E_0 - m_{\Pgn}c^2$\\ $p_{\Pgn} = \dfrac{1}{c}\sqrt{E_{\Pgn}(E_{\Pgn}+2m_{\Pgn}c^2)}$\\ $p_{\Pgn}^2\, \dfrac{\dd p_{\Pgn}}{\dd E_0}= \dfrac{1}{c^3}\left( E_{\Pgn} + m_{\Pgn}c^2\right)\sqrt{E_{\Pgn}\left(E_{\Pgn}+2m_{\Pgn}c^2\right)} = \dfrac{1}{c^3}\left(E_0-E\right)^2\sqrt{1-\left(\dfrac{m_{\Pgn}c^2}{E_0-E}\right)^2}$\\ Kurie-Plot: $\sqrt{\dfrac{\mathrm N (p)}{p^2 F(Z,p)}}= C' \left(E_0 -E \right) \left[ 1-\left(\dfrac{m_{\Pgn}c^2}{E_0-E}\right)^2\right]$\\ $\Rightarrow$ KATRIN-Experiment: $m(\Pgne) < 2,05 \frac{\unit{eV}}{c^2}$ (95\% confidence level) \subsection*{Lebensdauer $T_\frac{1}{2}$} Totale Zerfallswahrscheinlichkeit $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_\frac{1}{2}}$ \[\lambda=\int^{p_\Pgn}_0\!\!\!\mathrm N (p) \, \dd p=\int^{E_\Pgn}_0\!\!\! \mathrm N (E) \, \dd E = \frac{g^2}{2\pi^3 \hbar^7 c^3}\vert \mathrm M_{fi}\vert^2 \int^{E_\Pgn}_0\!\!\! F(Z,p) p^2(E_0-E)^2 \, \dd p\] \[W \equiv \frac{E+m_{\Pem} c^2}{m_{\Pem} c^2}\] \[\qquad \Rightarrow \lambda = \frac{g^2}{2\pi^3} \frac{m_{\Pem}^5 c^4}{\hbar^3} \vert \mathrm M_{fi}\vert^2 \underbrace{\int_0^{W_0}\!\!\! F(Z,W) \, \sqrt{W^2-1} \, (W_0 - W)^2 W \, \dd W}_{f(Z,W_0) \textnormal{: Fermi-Integral}}\] \[\lambda = \frac{\vert \mathrm M_{fi}\vert^2}{\tau_0}f(Z,W_0) \quad , \qquad \tau_0 = \frac{2 \pi^3 \hbar^7}{g^2 m_{\Pem}^5 c^4} \approx 10^4 \unit{s} \textnormal{ : universelle Zeitkonstante}\] Für große $W_0 : \quad f(Z,W_0) \approx W_0^5$ \[\lambda = \frac{\ln 2}{T_{\frac{1}{2}}}= \frac{\vert \mathrm M_{fi}\vert^2}{\tau_0}f(Z,W_0) \quad \Rightarrow \underbrace{f(Z,W_0)T_{\frac{1}{2}}}_{=fT}= \frac{\tau_0 \ln 2}{\vert \mathrm M_{fi}\vert^2}\] \begin{tabular}{lcl} $fT$: & $1000 - 5000$ & übererlaubte Übergänge\\ & $10^4 - 10^5$ & erlaubt\\ & $10^6 - 10^8$ & einfach verboten\\ & $10^8 - 10^{10}$ & zweifach verboten\\ & $\vdots$ & $\vdots$\\ \end{tabular} \subsection*{Mehrfachübergänge im Kurie-Plot} [Bild] %fixme Bild kurie mit knick \subsection{schwache Wechselwirkung} em-WW: $\qquad H_\mathrm{em} \sim \alpha \int \vec{j}(\vec{x})\vec{A}(\vec{x}) \dd^3 x$\\ $\alpha : \quad$ Kopplungskonstante\bigskip Fermi: \begin{itemize} \item neue "`schwache"' Kopplungskonstante $g$ \item Punkt-WW $\Rightarrow$ Raumunabhängigkeit durch $\delta$-Funktion ersetzt \end{itemize} $H_\beta \sim (\bar \Psi_\Pp \Omega \Psi_\Pn)(\bar \Psi_\Pem \Omega \Psi_\Pagn)$ \\ $\Psi : \quad$ 4-Dimensionale WF (Dirac-Spinoren)\\ $\Omega : \quad$ 4x4-Matrizen (2 Teilchen vor und nach der Reaktion)\medskip\\ mögliche $\Omega$s: \quad \begin{tabular}[t]{ll} $\Omega_S = 1$&Skalar S\\%fixme matrizen 1 $\Omega_P = \gamma_5 $&Pseudoskalar P\\ $\Omega_V = \gamma_\mu \quad \mu=0,1,2,3$ & Polarvektor V\\ $\Omega_A = \gamma_5 \gamma_\mu$ & Axialvektor A \\ $\Omega_T = \gamma_\mu \gamma_\nu - \gamma_\nu \gamma_\mu $& Tensor T\\ \end{tabular}\medskip\\ In der Natur werden nur $\Omega_V$ und $\Omega_A$ realisiert \[\gamma_0 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\] \[\gamma_\mu \quad \mu=1,2,3 \textnormal{ : Pauli-Spinmatrizen } \left( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_\mu \\ -\sigma_\mu & 0 \end{array} \right)\] \[\gamma_4 = i \, \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3\] \[\gamma_5 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\] \medskip $H_{fi}^2 = g_V^2 \vert M_\mathrm F \vert^2 + g_A^2 \vert M_\mathrm{GT} \vert^2 \qquad$ \emph{zwei} Kopplungskonstanten \\ Fermi Übergang + Gamor-Teller-Übergang \[g_V = 0,88 \cdot10^{-4} \unit{MeV}\unit{fm}^3\] \[\frac{g_A}{g_V}= - 1,261 \pm 0,004 \quad \textnormal{(V-A)-Kopplung}\] \medskip Exp: $ B \sim 100 \unit T ,\ T = 0,01K$\\ $ ^{60} \mathrm{Co}$ im Kristall: CeMg-Nitrate\\ $\quad \Rightarrow$ paramagnetisch\\ $\quad \Rightarrow$ anisotroper gyromagnetischer Faktor\\ \large{Paritätsverletzung !!} \chapter{Wechselwirkung von Teilchen mit Materie} Wichtig: \begin{itemize} \item Nachweis von Teilchen / Strahlung \item Biologische Effekte \begin{itemize} \item Krebs-Therapie \item Strahlenschutz \end{itemize} \end{itemize} \section{Wechselwirkung von geladenen Teilchen} \subsection{Energieverlust von schweren Teilchen (Protonen, Schwerionen)} \index{Energieverlust!von schweren Teilchen} \begin{itemize} \item Stöße mit den \Pem der Atome im Absorbermaterial \item Anregung oder Ionisation \item Kleiner Energietransfer vom schwereren Teilchen zum \Pem \item Statistischer Prozeß \item Viele \Pem $\rightarrow$kontinuierlicher Prozess \end{itemize} $\Rightarrow$Viele Stöße mit eigenen eV \subsubsection{Bohrs Rechnung für den klassischen Fall} Näherung: gradliniger Durchgang durch die Materie, \Pem in Ruhe. %Zeichnung aus der Vorlesung $\Rightarrow F_\parallel$-Komponenten addieren sich zu 0 Impulsübertrag auf das 1. \Pem \[\Delta p_\Pe=\int\! F_\Pe \, \dd t=\int\! F_\perp \, \dd t = \frac{1}{v} \int\! F_\perp \, \dd x = \frac{e}{v} \int\! E_\perp \, \dd x\] Satz von Gauß:$\displaystyle \oint_A\! E \, \dd A = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ \[\oint_A\! \vec{E} \, \vec{\dd A} = \int\! E_\perp 2 \pi b \, \dd x= \frac{Ze}{\varepsilon_0}\] $\Rightarrow$ Übertragener Impuls: \[\Delta p_\Pe = \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{vb}\] $\Rightarrow$ Übertragene Energie: \[\Delta E_\Pe^\mathrm{kin}=\frac{\Delta p_\Pe^2}{2m_\Pe}=\frac{1}{8 \pi^2 \varepsilon_0^2 m_\Pe} \frac{Z^2e^4}{v^2b^2}\] Jetzt: Berechnen des Energieverlustes in einem Intervall $\dd x\frac{\dd E}{\dd x}$(Stopping Power) $\rightarrow$Berechnen des Energieübertrags auf alle \Pem in einem Zylinder $\dd b\,\dd x$ Verringerung der kinetischen Energie des Projektils \[-\dd E_\mathrm{kin}=\int \limits_{b_\mathrm{min}}^{b_\mathrm{max}} \frac{\Delta p_\Pe^2}{2m_\Pe}\,n_\Pe \,2\pi b \,\dd b \,\dd x\] $n_\Pe$: Elektronendichte des Absorbermediums \[-\frac{\dd E_\mathrm{kin}}{\dd x} = \frac{Z^2e^4n_\Pe}{4\pi \varepsilon_0^2 v^2m_\Pe^2} \ln\left(\frac{b_\mathrm{max}}{b_\mathrm{min}}\right)\] $b_\mathrm{max}$:\ \Pem sind gebunden $\Rightarrow$ Minimale Energie notwendig um das Atom anzuregen $\Rightarrow$ Anregungspotential $I$ \[\Delta E_\mathrm{min}=I=\frac{1}{8 \pi^2 \varepsilon_0^2 m_\Pe} \frac{Z^2e^4}{v^2b_\mathrm{max}^2}\] \[\Rightarrow b_\mathrm{max}=\frac{Ze^2}{v}\frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\frac{1}{\sqrt{2m_\Pe I}}\] $b_\mathrm{min}$: max. Impulsübertrag $\longleftrightarrow$ zentraler Stoß \[\Delta p_\mathrm{max} = 2 m_\Pe v\qquad\longrightarrow b_\mathrm{min}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{m_ev^2}\] Stopping Power: \[-\frac{\dd E}{\dd x}=\frac{Z^2e^4n_\Pe}{4 \pi \varepsilon_0^2\, m_\Pe v^2}\ln\left( \sqrt{\frac{2m_\Pe v}{I}}\right)\quad \sim\frac{Z^2}{v^2} \] $\Rightarrow$Energieverlust hängt stark von Ladung und Geschwindigkeit des Teilchens ab. \subsubsection{Quantenmechanische Herleitung $\rightarrow$ Bethe-Bloch-Formel} \index{Bethe-Bloch-Formel} Energieübertrag parametrisiert als Funktion des Impulsübertrag (statt Stoßparameter) \[\frac{\dd E}{\dd x}=KZ^2_\mathrm P \left( \frac{Z_\mathrm A}{A_\mathrm A}\right) \frac{1}{\beta^2}\rho\left\lbrace \frac{1}{2}\ln\left( \frac{2m_\Pe c^2\beta^2\gamma^2T_\mathrm{max}}{I^2}\right)\underbrace{-\beta^2-\frac{\delta}{2}-\frac{c}{Z_\mathrm A}}_\text{Korrektur-Terme} \right\rbrace\] $K=\dfrac{N_A e^4}{4\pi\varepsilon_0^2\, m_\Pe c^2}$: Avogadro Konstante \\ $Z_\mathrm P$: Ladungszahl des Projektils \\ $Z_\mathrm A, A_\mathrm A$: Ladungs- bzw. Massezahl des Absorbers \\ $T_\mathrm{max}$: Maximaler Übertrag kinetischer Energie bei einem (zentralen) Stoß \\ $-\frac{\delta}{2}$: Dichte-Korrektur \\ $-\frac{c}{Z_\mathrm A}$: Korrektur aufgrund der Bewegung der Absorber-Elektronen \\ $I$: Mittleres Anregungspotential. Ableitung aus $\frac{\dd E}{\dd x}$-Messung (empirische Formel): \[\frac{I}{Z}=12+\frac{7}{Z}\unit{eV}\qquad Z<13\] \[\frac{I}{Z}=9,76+58,8Z^{-1,19}\unit{eV}\qquad Z>13\] \begin{itemize} \item $\sim Z_\mathrm P^2$ \item Schwache Abhängigkeit vom Absorbtionsmaterial (außer Dichte): \[\frac{Z}{A}\left( ^{12}\mathrm C\right) =0,5 \qquad \frac{Z}{A}\left( ^{208}\mathrm{Pb}\right) =0,4\] \item Für nicht relativistische Teilchen $\sim\frac{1}{v^2}$ \item Minimum bei $\gamma\beta=3$, danach wie $\ln(A)$ \item $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\dd E}{\dd x}\approx$ Materialunabhängig \item $v$ klein $\rightarrow-\dfrac{\dd E}{\dd x}\sim\left( \dfrac{MZ^2}{E_\mathrm{kin}}\right)_\mathrm{Projektil}$ \item $v$ groß $\rightarrow$ log-Anstieg \end{itemize} \subsection{Energieverlust von Elektronen und Positronen} \index{Energieverlust!von Elektronen} \index{Energieverlust!von Positronen} Energieverlust durch Stöße (nicht gradlinig) Geringe Masse $\rightarrow$EM-Strahlung: Streuung im Coulombfeld des Kernes \[\left( \frac{\dd E}{\dd x}\right)_\mathrm{tot}=\left( \frac{\dd E}{\dd x}\right)_\mathrm{rad}+\left( \frac{\dd E}{\dd x}\right) _{\text{Stöße}}\] Unterhalb von mehreren GeV sind Elektronen und Positronen die einzigen Teilchen, die substantielle Teile ihrer Energie in Strahlung umsetzen: $\sigma_{\text{rad}}\sim\left(\frac{e^2}{mc^2}\right) ^2$ $\Pgm^\pm=106\frac{\unit{MeV}}{c^2}\Rightarrow \left( \frac{\dd E}{\dd x}\right) _{\text{rad}}$ ist rund 40000 mal kleiner als bei $\Pe^\pm$. \subsubsection{Energieverlust durch Stöße} Modifikationen notwendig: \begin{itemize} \item $\Pe^\pm$ werden abgelenkt \item $\Pem$: Stöße zwischen identischen Teilchen (QM-Effekte) \end{itemize} (siehe \cite{cite6}) \subsubsection{Energieverlust durch Bremsstrahlung} \[\left( \frac{\dd E}{\dd x}\right)_\mathrm{rad}=NE_0\Phi_\mathrm{rad}\] $\Phi_{\text{rad}}=4Z^2r_E^2\alpha\ln\left( \frac{183}{Z^{1/3}}\right) $ \\ $N$: Anzahl der Atome pro Volumen \\ $E_0$: Energie des \Pem \medskip Kritische Energie: \[\left( \frac{\dd E_\mathrm C}{\dd x}\right) _{\text{rad}}=\left( \frac{\dd E_\mathrm C}{\dd x}\right) _{\text{Stöße}}\] \[\Rightarrow E_\mathrm C\simeq\frac{800\unit{MeV}}{Z+1,2}\] \subsubsection{Strahlungslänge} \[E(x)=E_0 \e^{-\frac{x}{L_{\text{rad}}}}\] $L_{\text{rad}}$: Strahlungslänge: $E(L_\text{rad})=\frac{1}{e}E_0$ \[\left( \frac{\dd E}{\dd x}\right) _{\text{rad}}\left( L_\text{rad}\right)=\frac{E_0}{L_\text{rad}}\quad\Rightarrow\quad L_\text{rad}=\frac{1}{N\Phi_\text{rad}}\] \subsubsection{Energieverlust durch Cerenkov-Strahlung} \index{Cerenkov-Strahlung} geladenes Teilchen hat Geschwindigkeit $>c$ in einem Medium \[v_{\text{Teilchen}} > \frac{c}{n} \Rightarrow \text{EM-Schockwelle}\] Für den Öffnungswinkel des emmitierten Lichtkegels $\theta_c$ gilt: \[\cos \theta_c=\frac{\frac{c}{n}\, t}{v\,t}=\frac{1}{\beta n(\omega)}\] Energieverlust: \[-\frac{\dd E}{\dd\omega \dd x}=Z^2\frac{ \alpha\hbar}{c}\omega\sin^2\theta_c\] \[-\frac{\dd E}{\dd x}=\int\limits_{\beta>\frac{1}{n(\omega)}}\!\!\!-\frac{\dd E}{\dd\omega \dd x}d\omega=Z^2\frac{\alpha \hbar}{c}\int\limits_{\beta>\frac{1}{n(\omega)}}\!\!\!\sin^2\theta_c\,\omega \dd\omega\] Wichtig: Anzahl der emittierten Photonen: \[\frac{\dd N_\Pgg}{\dd x}=2\pi Z^2\alpha\sin^2\theta_c\int\limits_{\lambda_1}^{\lambda_2}\frac{\dd\lambda}{\lambda^2}=475 Z^2 \sin^2\theta_c\] Dabei gilt $\dd N=\frac{\dd E}{\hbar \omega}$ und ein angenommer Sensitivitätsbereich des Photomultipliers von 350 nm bin 550 nm. \subsection{Energieverlust von Neutralen Partikeln (Photonen)} \index{Energieverlust!von Photonen} Im wesentlichen sind 3 Prozesse für den Energieverlust von Photonen in Materie verantwortlich: \begin{itemize} \item Photoeffekt \item Comptoneffekt \item Paar-Bildung \end{itemize} $\leftrightarrow$ Strahlung ist durchdringender als geladene Teilchen\\ $\leftrightarrow$ Photonen ändern nicht ihre Energie, sondern die Intensität des Strahles nimmt ab (Absorbtionskoeffizient $\mu$): \[ I(x)=I_0\, \e^{-\mu x} \] \subsubsection{Photoeffekt} \index{Photoeffekt} Der Photoeffekt findet nur an gebundenen Elektronen statt, da der Kern für die Aufnahme von Rückstoßenergie benötigt wird. \[E_\Pe=h\nu -E_b\] \[m_\Pe c^2>E_\Pgg>E_b(K) \quad \Rightarrow\quad \sigma_\mathrm{Ph}\sim Z_\mathrm A^5 \left(\frac{m_\Pe c^2}{E_\Pgg}\right)^{\frac{7}{2}} \] \[E_\Pgg \gg E_b(K) \quad\Rightarrow\quad \sigma_\mathrm{Ph}\sim Z_\mathrm A^5\frac{1}{E_\Pgg}\] $\Rightarrow$ Der Photoeffekt ist der dominierende Effekt für schwere Elemente \subsubsection{Comptoneffekt} \index{Comptoneffekt} Streuung von Photonen an freien Elektronen: $E_\Pgg \gg E_b$ \begin{fmffile}{streu4} \fmfframe(20,20)(50,0){ \begin{fmfgraph*}(60,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfv{label=$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pem{}'$}{i2} \fmflabel{$\Pgg$}{o1} \fmflabel{$\Pgg'$}{o2} \fmf{fermion}{i1,v1} \fmf{fermion}{v2,i2} \fmf{vanilla}{v1,v2} \fmf{photon}{o1,v1} \fmf{photon}{v2,o2} \fmfdot{v1,v2} \fmflabel{$\sqrt{\alpha}$}{v1} \fmflabel{$\sqrt{\alpha}$}{v2} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} $\displaystyle T_{\Pem}^\mathrm{max}=h\nu\left(\frac{2\gamma_\mathrm C}{1+2\gamma_\mathrm C}\right)\quad \gamma_\mathrm C=\frac{h\nu}{m_\Pe c^2}$ \bigskip\\ Aus der Quantenelektrodynamik kann man die Klein-Nishima Formel für den Wirkungsquerschnitt der Compton-Streuung gewinnen: \[\frac{\dd\sigma_\mathrm C}{d\Omega}=\frac{r_\Pe^2}{2}\frac{1}{\bigl(1+\gamma_\mathrm C\left(1-\cos\theta\right)\bigr)^2}\left(1+\cos^2\theta+\frac{\gamma_\mathrm C^2\left(1-\cos\theta\right)^2}{1-\gamma_\mathrm C\left(1-\cos\theta\right)}\right)\] Durch Integration über $\dd\Omega$ erhält man eine Abhängigkeit des totalen Wirkungsquerschnitts von $Z$, der Anzahl der Elektronen im Atom. Am Feynmangraph erkennt man die Proportionalität der Kopplung zu $\alpha^2$. \subsubsection{Paar-Bildung} \index{Paar-Bildung} \begin{fmffile}{streu5} \fmfframe(10,15)(50,10){ \begin{fmfgraph*}(80,50) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfv{label=$\Pgg$}{i2} \fmflabel{$\Pep$}{o1} \fmflabel{$\Pem$}{o2} \fmf{photon}{i2,v1} \fmf{phantom}{i1,v2} \fmf{phantom}{v2,v1} \fmf{vanilla}{v1,v3} \fmf{phantom}{v1,v3} \fmf{fermion}{v3,o1} \fmf{fermion}{v1,o2} \fmffreeze \fmfblob{.15w}{v2} \fmf{photon}{v3,v2} \fmfdot{v1,v3} \fmflabel{$\sqrt{\alpha}$}{v1} \fmflabel{$\sqrt{\alpha}$}{v3} \fmfv{l=$Z\sqrt{\alpha}$}{v2} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} $ E_\Pgg > 2m_\Pe c^2 $ \bigskip\\ Aus dem Feynmangraph erkennt man die Proportionalität des Wirkungsquerschnitts zu $Z^2\alpha^3$. \chapter{Detektoren und Teilchenbeschleuniger} \section{Teilchendetektoren} \index{Detektoren} 2 Extremfälle: Inklusive und exklusive Messungen \begin{enumerate} \item inklusive Messung: \quad a + b $\to$ c + etwas zusätzliches \\ z.B. $\Pp + \Pp \to \Pgpp + \mathrm X \qquad$ (X können auch mehrere Teilchen sein) \medskip \\ Messung von $E, \vec p \quad \leadsto$ Identifikation von $m, Z$ \item exklusive Messung: \quad a + b $\to \underbrace{\mathrm c + \mathrm d + \mathrm e + \ldots}_\text{vollst. Messung aller Teilchen}$ \\ z.B. $\Pgg \Pp \to \Pp \Pgpz \Pgpz \to \Pp \Pgg\Pgg\Pgg$ \medskip \\ $4\pi$-Detektor, Bestimmung von $E_i, p_i, Z_i, m_i$ \end{enumerate} In der Praxis: Zwischenstufen \begin{itemize} \item viele, aber nicht alle Teilchen werden gemessen \item semi-inklusive Messungen \end{itemize} \section{Typen von Detektoren} \begin{enumerate} \item Nachweis von Ionisation \item Nachweis von "`Licht"' / Photonen \end{enumerate} \subsection{Ionisationsdetektoren} Signal $\propto$ produzierte Ladung $\propto$ Energieverlust durch Ionisation \subsubsection{Ionisationskammer} \index{Ionisationskammer} %Zeichnung "Ionisationskammer" Die Ionisationskammer ist im Prinzip ein mit einem Gas gefüllter Plattenkondensator. Die Spannung $U_0$ an den Platten wird so gewählt, dass die produzierten Ladungen zu den Platten abfließen. \subsubsection{Proportional-Zählrohr} \index{Proportional-Zählrohr} In einem Proportionalzählrohr wird eine zusätzliche Verstärkung des Signals durch Lawineneffekte in einem starken EM-Feld erreicht. Beispiel: Zylinderkondensator mit Anodendrahtradius $a$, Mantelradius $b$ und Spannung $U_0$: \[E=\frac{1}{r}\frac{U_0}{\ln\left(\frac{a}{b}\right)}\] $\Rightarrow$ Starkes Feld am Draht, \Pem werden beschleunigt $\Rightarrow$ Sekundärionisation $\rightarrow$ Kaskade $\rightarrow$ Verstärkung \subsubsection{Vieldrahtproportionalkammer (MWPC)} \index{Vieldrahtproportionalkammer} \index{MWPC} Für die Entwicklung der MWPC bekam Georges Charpak 1992 den Nobelpreis \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics{mwpc} \caption{Prinzip einer MWPC \cite{cite7}} \label{fig:mwpc} \end{figure} Die MWPC besteht im Wesentlichen aus einer Ionisationskammer, deren äußere Platten gleich geladen sind, und zwischen denen umgekehrt geladene Anodendrähte gespannt sind (siehe Zeichnung \ref{fig:mwpc}). Die Ortsauflösung ist im wesentlichen durch den Drahtabstand bestimmt, die Drahtnummer auf der man ein Signal sieht liefert die Position des Teilchens. Durch die Positionierung von zwei gekreuzten Drahtkammern hintereinander erhält man eine 2D-Ortsinformation. Der Vorteil der Drahtkammer ist insbesondere, dass sich großflächige Detektoren preisgünstig realisieren lassen. \subsubsection{Driftkammer} \index{Driftkammer} Eine Driftkammer ist im wesentlichen exakt wie eine MWPC aufgebaut. Allerdings sind die Drähte immer abwechselnd negativ und positiv geladen, und die Platten sind durch viele Drähte ersetzt, so dass sich unabhängige Zellen ergeben. Die Ortsinformation ergibt sich hier durch die Driftzeit der Ionisationsprodukte zu den Drähten, dass heißt man führt eine Orts- auf eine Zeitbestimmung zurück. Daher benötigt man auch ein externes "`Startsignal"'. Um die Messung möglichst präzise durchführen zu können, benötigt man eine möglichst konstante Driftgeschwindigkeit und damit ein möglichst homogenes Feld. Um dies zu erreichen wird an den äußeren Kathodendrähten ein Spannungsgradient gebildet. \subsubsection{TPC-Time Projection Chamber} \index{Time Projection Chamber}\index{TPC} Die TPC ist ein Solenoid-Magnet mit einem großen eingeschlossenen Gasvolumen. Sie ermöglicht eine 3D-Bahnrekonstruktion. 2 Koordinaten werden duch Ortsdetektoren an den Endkappen gemessen ($\sim 100 \mu$m), die dritte über die Driftzeit ($\sim$ 1 mm bei 2 m Drift). Über die Krümmung der Bahn wird der Teilchenimpuls bestimmt, der Energieverlust wird zur Teilchenidentifikation herangezogen. \subsubsection{Photomultiplier} \index{Photomultiplier} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics{pm} \caption{Prinzip eines Photomultipliers \cite{cite8}} \label{fig:pm} \end{figure} \begin{itemize} \item An den Dynoden werden Sekundärelektronen produziert \item Typischerweise 10-14 Dynoden \item Spannungsunterschied je $\Delta U \cong 100 - 200 \unit{V}$ \item Verstärkung $\sim 10^5 - 10^8$, je nach Hochspannung \end{itemize} \subsection{Szintillations-Detektoren} \index{Szintillator} (Kristalle, Plastik-Szintis, Wellenlängenschieber, Faser-Auslese...) \section{Beschleuniger} \index{Beschleuniger} \subsection*{Wichtige Größen:} Strahlqualität: Energieschärfe $\frac{\Delta E}{E}$, Emitanz: \begin{tabular}[t]{ll} Ort & $\Delta x = 3\sigma_x$ \\ Winkel & $\Delta x' = 3\sigma_{x'}$ \end{tabular} \\ z.B. $\Delta x = 0,5\unit{mm}, \Delta x' = 0,8\unit{mrad}:\ \ \pi \varepsilon_x = \pi\Delta x \Delta x' = 0,4\text{mm mrad }\pi$ \medskip\\ Intensität: $N$ \qquad\quad Luminosität: $N \cdot N_\mathrm t$ \quad $N_\mathrm t$: Anzahl der Streuzentren \\ \begin{picture}(400,115)(-200,15) \put(-200,110){duty factor (Tastverhältnis) $df = \dfrac{\tau}{T}$} \put(30,0){\vector(0,1){120}} \put(20,10){\vector(1,0){180}} \put(18,110){$I$} \put(192,-1){$t$} \multiput(60,10)(80,0){2}{\line(0,1){100}} \multiput(80,10)(80,0){2}{\line(0,1){100}} \multiput(60,110)(80,0){2}{\line(1,0){20}} \put(25,85){\line(1,0){170}} \put(13,82){$I_0$} \multiput(60,-3)(80,0){2}{\line(0,1){9}} \put(93,1){\vector(-1,0){33}} \put(107,1){\vector(1,0){33}} \put(96,-3){$T$} \multiput(60,113)(20,0){2}{\line(0,1){9}} \put(65,117){\vector(-1,0){5}} \put(75,117){\vector(1,0){5}} \put(67,115){$\tau$} \end{picture} \subsection{Elektrostatische Beschleuniger} \index{Beschleuniger!elektrostatisch} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=50mm]{estatic} \caption{Aufbau eines elektrostatischen Beschleunigers \cite{cite9}} \label{fig:estatic} \end{figure} 1. Beschleuniger: Cockroft-Walton \subsubsection{Tandem-Beschleuniger} \index{Beschleuniger!Tandem} \index{Tandem-Beschleuniger} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=40mm]{tandem} \caption{Aufbau eines Tandem-Beschleunigers \cite{cite10}} \label{fig:tandem} \end{figure} \begin{itemize} \item Start mit negativen Ionen \item dünner Abstreifer $\Rightarrow$ $Z$-fach positive Ionen \item $E_\mathrm{kin} = \left(1+Z\right)\cdot e\,U$ \item $I(t) = \const \Rightarrow df = 1$ \end{itemize} \begin{description} \item[Beispiel:] Garching $\qquad U = 15\unit{MV}\qquad {^{12}\mathrm C}^{6+} \Rightarrow E_\mathrm{kin} = 105\unit{MeV}$ \end{description} \subsection{Linearbeschleuniger} \index{Beschleuniger!linear} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=25mm]{linac} \caption{Aufbau eines Linearbeschleunigers \cite{cite11}} \label{fig:linac} \end{figure} \begin{itemize} \item Teilchen sehen immer beschleunigendes Feld \item Wideroe- und Alvarez-Resonator für Protonen und Ionen \index{Resonator!Alvarez} \index{Resonator!Wideroe} \item Runzelröhrenresonator für \Pem \index{Resonator!Runzelröhre} \end{itemize} \subsection{Zirkularbeschleuniger} \index{Beschleuniger!zirkular} \subsubsection{Zyklotron} \index{Zyklotron} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=30mm]{zyklo1} \includegraphics[height=30mm]{zyklo2} \includegraphics[height=30mm]{zyklo3} \caption{Aufbau eines Zyklotrons \cite{cite12}} \label{fig:zyklo} \end{figure} Lorentzkraft = Zentrifugalkraft:$ \quad qvB = m\omega^2r = \dfrac{mv^2}{r} \Rightarrow r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{p}{qB}$ \\ Zyklotronfrequenz:$ \quad B = \const \Rightarrow \omega_\mathrm c = \dfrac{qB}{m}$ \\ Aber: gilt nur für nicht relat. Teilchen! Sonst:$ \quad \omega_\mathrm c = \dfrac{qB}{\gamma m} \ne \const$ \subsubsection{Synchrotron} \index{Synchrotron} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=75mm]{synchro} \caption{Aufbau eines Synchrotrons \cite{cite13}} \label{fig:synchro} \end{figure} $r = \const \qquad B = B(t) \qquad$ \\ Das Magnetfeld wird mit steigender Energie ($\Delta E$ pro Umlauf) nachgeregelt. \medskip\\ Problem bei hohen Energien: \Pem-Synchrotronstrahlung \\ Abgestrahlte Energie pro Umlauf: $\displaystyle\Delta E \propto \frac{\beta^4}{R} \left(\frac{E}{mc^2}\right)^4 \propto \frac{1}{m^4}$ \\ \begin{picture}(400,45)(0,5) \put(0,30){Fest-Target-Experimente} \put(10,15){\vector(1,0){35}} \put(45,6){\line(0,1){18}} \put(23,6){\begin{footnotesize}$E$\end{footnotesize}} \put(70,10){$\sqrt{s} \propto \sqrt{E}$} \put(220,30){Collider} \put(210,15){\vector(1,0){30}} \put(270,15){\vector(-1,0){30}} \put(220,6){\begin{footnotesize}\Pep\end{footnotesize}} \put(253,6){\begin{footnotesize}\Pem\end{footnotesize}} \put(290,10){$2\,E_{\Pep} E_{\Pem}$} \end{picture} \subsubsection{Mikrotron} \index{Mikrotron} Ein Mikrotron ist ein kostengünstiger Beschleuniger für relativistische Elektronen mit hervoragenden Strahleigenschaften, der zudem hohe Ströme und Strahlleistungen ermöglicht. Er ist im wesentlichen eine Anwendung des Zyklotron-Prinzips für hochrelativistische Elektronen. Ein klassisches Mikrotron besteht aus einem Beschleunigungs-Resonator, der sich in einem ausgedehnten homogenen B-Feld wie beim Zyklotron befindet. Der Resonator ist so am Rande der Feld-Zone positioniert, dass die Elektronen bei jedem Umlauf durch den Resonator laufen. Durch die Energiezunahme im Resonator nimmt der Radius der Umlaufbahn dabei bei jedem Umlauf zu, bis die Elektronen das Feld verlassen. Damit die Phasensynchronität im Resonator nicht verletzt wird, muss die Änderung der Umlaufzeit ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer der Hochfrequenz im Resonator sein: \[ \Delta t\stackrel{!}{=}nT_\text{HF} \] Die Umlaufzeit hängt über folgende Gleichungen mit den Parametern des Beschleunigers zusammen: \[ t=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \gamma m}{qB}=\frac{2\pi E}{qBc^2} \] Daraus ergibt sich sowohl eine Bedingung an die Energie auf der engsten Bahn $E_1$ als auch an den Energiegewinn im Resonator $\Delta E$: \[ E_1=\frac{qBc^2}{2\pi}nT_\text{HF},\qquad\Delta E=\frac{qBc^2}{2\pi}mT_\text{HF},\qquad n,m\in\mathbb{N} \] Die Energie auf der ersten Bahn setzt sich aber nun gerade aus der Injektionsenergie $E_{inj}$ und einer Energiezunahme $\Delta E$ zusammen: \[E_1=E_{inj}+\Delta E\] Es folgt: \[\frac{n}{m}\Delta E=E_{inj}+\Delta E\] \[\Longrightarrow \Delta E=\frac{m}{n-m}E_{inj}\] Für die sogenannte Grundmode ($m=1$, $n=2$) muss der Energiezuwachs pro Umlauf also genauso groß wie die Injektionsenergie, also größer als die Ruheenergie sein, weshalb sich ein Mikrotron grundsätzlich nur für Elektronen sinnvoll realisieren lässt. In modernen Racetrack-Mikrotrons wird der Resonator nicht mehr im Feld positioniert, sondern ein längerer Linearbeschleuniger zwischen zwei Gebiete mit ausgedehnten Feldern positioniert, in denen die Elektronen um 180$^\circ$ umgelenkt werden. Man erreicht so höhere Energien bei geringerem Magnet-Gewicht. \chapter{Die Kern-Kraft} \index{Kernkraft} \subsubsection*{Atomphysik:} \begin{itemize} \item elektrisch neutrake Atome \item $\to$ Moleküle, Restwechselwirkung \item Ionenbindung, Kovalente Bindung \end{itemize} \subsubsection*{Kernphysik:} \begin{itemize} \item farbneutrale Hadronen \item Kernkraft auch eine Restwechselwirkung \end{itemize} \subsubsection*{Gründe:} \begin{itemize} \item Nukleonen verhalten sich wie in einem "`entarteten Fermigas"'. \item Verhalten des einzelnen Nukleons ist unabhängig vom spez. Charakter der N-N-Wechselwirkung. \end{itemize} \subsubsection*{studieren:} \begin{itemize} \item Nukleon-Nukleon-Streuung \item Deuteron (\Pn \Pp) \end{itemize} \section{Nukleon-Nukleon-Streuung} \index{Streuexperiment!Nukleon-Nukleon} \index{Nukleon-Nukleon-Streuung} $\Pn + \Pp \to \Pn' + \Pp'$ \quad unterhalb der Pionproduktionsschwelle $\to$ elastische Streuung \subsubsection*{Annahme:} \begin{itemize} \item QM \item punktförmige Objekte \item mit Spin und Isospin \item Potentialmodell \end{itemize} \subsubsection*{Potential-Parameter:} \begin{itemize} \item Relativabstand $\vec x$ \item Relativimpuls $\vec p$ \item Relativdrehimpuls $\vec L$ \item Spins $\vec s_1$, $\vec s_2$ \item Isopins $\vec I_1$, $\vec I_2$ \end{itemize} \subsubsection*{Allgemeinster Ansatz für N-N-Potential für festen Isospin:} \begin{equation*} \begin{array}{rcll} V(r) &=& V_0(r) & \text{Zentralpotential} \medskip\\ &+& V_{ss}(r)\ \vec s_1 \vec s_2& \text{Spin-Spin-Anteil} \medskip\\ &+& V_\mathrm T(r) \left\{\frac{3\left(\vec s_1 \vec x\right)\left(\vec s_2 \vec x\right)}{r^2} - \vec s_1 \vec s_2 \right\} & \text{Tensoranteil (em Dipol-Dipol-WW)} \medskip\\ &+& V_{Ls}\left(\vec s_1 + \vec s_2 \right) \cdot \vec L & \text{Spin-Bahn-Anteil} \medskip\\ &&\left. \begin{array}{l} + V_{Ls} (\vec s_1 \vec L) ( \vec s_2 \vec L) \\ + V_{ps} ( \vec s_1 \vec p) ( \vec s_2 \vec p) \end{array} \qquad \right\} & \text{quadratisch im Impuls, daher unterdrückt} \end{array} \end{equation*} \subsection{N-N-Streuung mit Polarisation von Strahl und Target} \subsubsection*{2-Nukleonen-System:} \begin{tabular}{llll} Spin \qquad\qquad & $\uparrow\uparrow$\qquad & $S = 1 $\qquad\qquad & Spin-Triplett \\ & $\downarrow\uparrow$ & $S=0$ & Spin-Singulett \medskip\\ Isospin & $\uparrow\uparrow$ & $I = 1$ & Isospin-Triplett \\ & $\downarrow\uparrow$ & $I = 0$ & Isospin-Singulett \end{tabular} \subsubsection*{Zustände des 2-Nukleonen-Systems:} \begin{tabular}{ccccc} \hspace{0.8cm}2\Pp\hspace{0.8cm} & \hspace{0.8cm}\Pn\Pp\hspace{0.8cm} & \hspace{0.8cm}2\Pn\hspace{0.8cm} \medskip\\ $\downarrow\uparrow$ & $\downarrow\uparrow$ & $\downarrow\uparrow$ & $I = 1$ & $S = 0$ \\ & & & Isospin-Triplett & Spin-Singlett \\ & $\uparrow\uparrow$ & & $I = 0$ & $S = 1$ \\ & Deuteron & & Isospin-Singlett & Spin-Triplett \end{tabular} \subsection{Streuphase} Streuphase $\delta_l$: Phasenunterschied zwischen ein- und auslaufender Welle \bigskip\\ differentielle Wirkungsquerschnitt: $\dfrac{\dd \sigma}{\dd \Omega} = \left|f(\theta)\right|^2$ \qquad $f(\theta)$ Streuamplitude \medskip\\ $l = p\cdot a \qquad\quad p = 100 \dfrac{\unit{MeV}}{c}, \quad a \approx 1 \unit{fm} \qquad\quad \Rightarrow l = \dfrac{100\cdot 1}{\underbrace{\hbar c}_{\sim 300\unit{MeV\,fm}}} \hbar\ \unit{MeV\,fm} \leq \dfrac{1}{2} $ \\ $l=0$\quad S-Wellen-Streuung \subsubsection*{Partialwellenzerlegung der Streuamplitude $f(\theta)$ in Abh. des Bahndrehimpulses $l$:} \[f(\theta) = \frac{1}{k} \sum\limits_{l=0}^\infty \left( 2l + 1\right) \e^{i\delta_l} \sin\delta_l\ P_l(\cos\theta) \] Wellenzahl\quad $\displaystyle k = \frac{1}{\lambda} = \frac{\left| \vec p\right|}{\hbar} = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ \\ $P_l(\cos\theta)$ Legendrepolynome:\qquad $\begin{array}[t]{rcll} P_l(\cos\theta) &\!\!=\!\!& \dfrac{1}{2^l\,l!} &\!\!\! \left[ \left( \dfrac{\dd}{\dd\cos\theta}\right)^l \left( - \sin^2\theta \right)^l\right] \medskip\\ P_0(\cos\theta) &\!\!=\!\!& 0 &\qquad\text{S-Welle} \\ P_1(\cos\theta) &\!\!=\!\!& \cos\theta &\qquad\text{P-Welle} \end{array}$ \subsubsection*{Interpretation der Streuphase:} S-Welle: \qquad $l=0$ \qquad\qquad $\Psi(\vec x) = \Psi(r)$ \quad kugelsym. \medskip\\ Schrödinger-Gl.: \quad $\displaystyle \frac{\dd u^2(r)}{\dd r^2} + \frac{2m\left(E-V\right)}{\hbar^2}\ u(r) = 0$ \qquad\quad mit $u(r) = r\cdot\Psi(r)$ \begin{enumerate} \item abstoßendes Potential: \\ \begin{picture}(400,100)(0,-8) \put(10,15){\vector(1,0){100}} \put(25,0){\vector(0,1){80}} \put(55,15){\line(0,1){56}} \put(2,75){\begin{small}$V(r)$\end{small}} \put(105,5){\begin{small}$r$\end{small}} \put(53,5){\begin{small}$b$\end{small}} \multiput(25,15)(0,5){6}{\line(1,1){30}} \put(30,15){\line(1,1){25}} \put(35,15){\line(1,1){20}} \put(40,15){\line(1,1){15}} \put(45,15){\line(1,1){10}} \put(25,45){\line(1,1){25}} \put(25,50){\line(1,1){20}} \put(25,55){\line(1,1){15}} \put(25,60){\line(1,1){10}} \put(160,40){\vector(1,0){185}} \put(175,0){\vector(0,1){80}} \put(205,10){\line(0,1){60}} \put(152,75){\begin{small}$\Psi(r)$\end{small}} \put(340,30){\begin{small}$r$\end{small}} \put(208,5){\begin{small}$b$\end{small}} \multiput(175,10)(0,5){7}{\line(1,1){30}} \put(180,10){\line(1,1){25}} \put(185,10){\line(1,1){20}} \put(190,10){\line(1,1){15}} \put(195,10){\line(1,1){10}} \put(175,45){\line(1,1){25}} \put(175,50){\line(1,1){20}} \put(175,55){\line(1,1){15}} \put(175,60){\line(1,1){10}} \qbezier(175,40)(205,95)(235,40) \qbezier(235,40)(265,-15)(295,40) \qbezier(205,40)(235,95)(265,40) \qbezier(265,40)(295,-15)(325,40) \put(240,5){\begin{scriptsize}ungestr.\end{scriptsize}} \put(314,15){\begin{scriptsize}gestr.\end{scriptsize}} \end{picture} \\ \begin{tabular}{ll} $V(r) \to \infty$ \qquad & für $r 0 \] \end{enumerate} \subsection{Wirkungsquerschnitt} \index{Wirkungsquerschnitt!Nukleon-Nukleon-Streuung} \begin{picture}(300,60) \put(0,50){$\Pn + \Pp \to \Pn' + \Pp'$} \put(130,30){\vector(1,0){40}} \put(210,30){\vector(-1,0){40}} \put(170,30){\vector(1,1){28}} \put(170,30){\vector(-1,-1){28}} \put(140,33){$\Pn$} \put(195,33){$\Pp$} \put(180,50){$\Pn'$} \put(154,5){$\Pp'$} \end{picture} %Todo: Feynman-Graph %\begin{fmffile}{nnstreu} %\begin{fmfgraph*}(80,50) % %\end{fmfgraph*} %\end{fmffile} \bigskip \begin{picture}(410,150) \put(20,55){\vector(1,0){180}} \put(180,45){\begin{footnotesize}$\cos\theta$\end{footnotesize}} \put(30,50){\vector(0,1){100}} \put(13,137){\begin{footnotesize}$\dfrac{\dd\sigma}{\dd\Omega}$\end{footnotesize}} \put(28,42){\begin{footnotesize}1\end{footnotesize}} \put(95,50){\line(0,1){10}} \put(93,42){\begin{footnotesize}0\end{footnotesize}} \put(160,50){\line(0,1){10}} \put(156,42){\begin{footnotesize}-1\end{footnotesize}} \put(20,30){\vector(1,0){180}} \put(170,18){\begin{footnotesize}$q\left[\frac{\unit{MeV}}{c}\right]$\end{footnotesize}} \put(30,25){\line(0,1){10}} \put(28,17){\begin{footnotesize}0\end{footnotesize}} \put(160,25){\line(0,1){10}} \put(152,17){\begin{footnotesize}100\end{footnotesize}} \qbezier(30,130)(100,20)(160,90) \put(215,130){$E_N = 630 \unit{MeV}$} \put(215,100){elast. EQ $\dfrac{\dd\sigma}{\dd\Omega}$} \put(215,70){Ansteigen unter "`Rückwärts"'-Winkel} \put(215,55){$\to$ Ladungsaustausch} \end{picture} \section{Deuteron} \index{Deuteron} \begin{tabular}{lp{12cm}} $S=0$ & anziehender Anteil des NN-Potentials ist nicht stark genug, um einen gebundenen \Pn\Pp-, \Pn\Pn- oder \Pp\Pp-Zustand zu bilden \medskip\\ $S=1$ & gebundener Zustand $\to$ Deuteron \newline Spin-Triplett, Isosping-Singulett \end{tabular} \subsection{Eigenschaften} \begin{tabular}{rcll} $J^P$ &$\!\!\!=\!\!\!$& $1^+$ & Gesamtspin \& Parität \\ $I$ &$\!\!\!=\!\!\!$& $0$ & Isospin \\ $B$ &$\!\!\!=\!\!\!$& $2,225\unit{MeV}$ & Bindungsenergie \\ $\mu_\mathrm d$ &$\!\!\!=\!\!\!$& $0,857 \mu_N$ & magnetisches Moment ($\mu_\Pp + \mu_\Pn = 0,880 \mu_N$) \\ $Q$ &$\!\!\!=\!\!\!$& $0,282\unit{fm}^2$ & Quadrupolmoment \end{tabular} \bigskip \Pp\Pn-System eines $l=0$ Zustands: \[\Rightarrow Q = 0 \qquad\qquad\qquad \Rightarrow \mu_\mathrm d = 0,880 \mu_N\] \[\Rightarrow \left|\Psi_\mathrm d \right\rangle = a \underbrace{\left| {^3\mathrm S_1}\right\rangle}_{l=0} + b \underbrace{\left| {^3\mathrm D_1}\right\rangle}_{l=2} \] Schreibweise: \quad${^{(2s+1)}l_j}$ \subsection{Magnetisches Moment} Def:\quad $\mu_z = \left\langle J,M=J\right| \mu_z \left| J,M=J \right\rangle$ \[\left| \vec \mu_j \right| = \frac{\vec J \cdot \vec \mu}{|\vec J|} \qquad\qquad \vec \mu_z = \left|\vec\mu_j\right| \cdot \frac{\vec J_z}{|\vec J|} \] \[ \mu_z = \frac{M}{J(J+1)} \left\langle JM\right| \vec J \vec \mu \left| JM \right\rangle \] \[ \mu_\mathrm d = \frac{1}{4J(J+1)} \Big[ \left(g_\Pn+g_\Pp\right) \begin{array}[t]{l} \bigl(J(J+1) - L(L+1) + S(S+1)\bigr) \\ \bigl(J(J+1) + L(L+1) - S(S+1)\bigr)\Big] \quad\text{Land\'e-Formel} \end{array} \] \begin{tabular}{lll} S-Welle: & $L = 0, S=1, J=1$ & $\Rightarrow \mu_\Pp + \mu_\Pn = 0,880 \mu_N$ \medskip\\ D-Welle: & $L = 2, S=1, J=1$ & $\Rightarrow \frac{1}{8} \bigl[ \left(g_\Pn+g_\Pp\right)\left(2 - 6 + 2 + 6\right) \bigr] = 0,880 \mu_N$ \end{tabular} \subsection{Quadrupolmoment} Das Potential einer Ladungsverteilung kann bei großen Abständen in Multipolmomente entwickelt werden. \[\Phi(\vec x) = \sum\limits_{l=0}^\infty\ \sum\limits_{m=-l}^l\ \frac{4\pi}{2l+1}\ q_{lm}\,\frac{Y_{lm}(\theta, \varphi)}{r^{l+1}}\] $q_{lm}$: Multipolmomente \begin{eqnarray*} l=0 && \text{Monopol} \to \text{Ladung} \\ l=1 && \text{Dipol} \\ l=2 && \text{Quadrupol} \end{eqnarray*} \[ Q_z = \frac{1}{l} \int\! \left(3z^2 - r^2 \right) \rho(r)\,\dd^3 r \] \section{Eigenschaften der Kernkraft} \index{Kernkraft!Eigenschaften} \begin{tabular}{lll} 1. & starke WW & stärker als Coulomb-WW \\ 2. & saturiert & konstante Kerndichte \\ 3. & kurzreichweitig & Abw. bei Rutherford-Streuung bei kleinen Abständen \\ 4. & Ladungsunabhängig & Energieniveaus von Isobaren \\ 5. & spinabhängig & $^3\mathrm S_1$ Deuteron-Zustand, aber kein $^3\mathrm S_0$ \\ 6. & Tensoranteil & $\mu_\mathrm d > Q_\mathrm d$ \\ 7. & Austauschteilchen & Ladungsaustausch bei N-N-Streuung \end{tabular} \bigskip \begin{tabular}{ll} Yukawa 1934: & Austauschteilchen hat Masse ($\sim 100\unit{MeV}$) \\ & $\Rightarrow$ kurze Reichweite der WW. \medskip\\ Paul 1947: & $\Pgpp$ in kosmischer Strahlung \end{tabular} \chapter{Kernmodelle} \index{Kernmodelle} \begin{labeling}{bisher:} \item[bisher:] Tröpfchenmodell $\to$ semi-empirische Massenformel \\ $\Rightarrow$ gute Beschreibung der Massen von stabilen Kernen \item[aber:] viele Kerneigenschaften nicht erklärt, z.b. \begin{itemize} \item Spin, Paritätä (Grundzustände, angeregte Zustände) \item Existenz der magischen Zahlen \item magnetische Momente \item Werte der Koeffizienten in der Massenformel (Ausnahme: Coulomb-Teil) \end{itemize} \end{labeling} \section{Fermi-Gas-Modell} \index{Fermi-Gas-Modell}\index{Kernmodelle!Fermi-Gas-Modell} \subsubsection*{Basis:} \begin{itemize} \item Überlagerung der Wechselwirkung aller Nukleonen kann durch zentrales Kernpotential beschrieben werden \item Rest-WW zwischen Paaren von Nukleonen wird vernachlässigt \item Protonen und Neutronen als unabhängige Systeme von Spin-$\frac{1}{2}$-Teilchen (Pauli-Prinzip) \item Nukleonen bewegen sich im Potential, ohne zu wechselwirken \end{itemize} \subsubsection*{Erklärt z.B.:} \begin{itemize} \item Impulsverteilung der Nukleonen im Kern \item wichtige Eigenschaften der Massenformel \end{itemize} \subsection{Das Modell} Nukleonen im Potentialtopf \\ $\to$ Anzahl der Zustände im Volumen $V$ und im Impulsintervall $[p, p+\dd p]$: \[\dd n = \frac{4\pi p^2 \dd p}{\left(2\pi\hbar\right)^3}\cdot V \] Im Grundzustand: Zustände sind gefüllt bis zu einem maximalen Impuls $p_\mathrm F$ (Fermi-Impuls) \[ n = \int \dd n = \frac{V\cdot p_\mathrm F^3}{6\pi^2\hbar^3} \] Jeder Zustand ist durch zwei identische Nukleonen besetzt: Spin $\uparrow\downarrow$ \[ N = \frac{V\cdot \left(p_\mathrm F^\Pn\right)^3}{3\pi^2\hbar^3} \qquad\qquad\qquad Z = \frac{V\cdot \left(p_\mathrm F^\Pp\right)^3}{3\pi^2\hbar^3}\] $\rightarrow$ unabh. Proton- und Neutron-System\medskip\\ Kernvolumen $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A \qquad\qquad R_0 = 1\unit{fm}$ \bigskip Für Kerne mit $Z = N = \frac{A}{2}$: \[p_\mathrm F = p_\mathrm F^\Pn = p_\mathrm F^\Pp = \frac{\hbar}{R_0} \left(\frac{9\pi}{8}\right)^\frac{1}{3} = 250\, \frac{\unit{MeV}}{c} \] \begin{enumerate} \item[$\Rightarrow$] Nukleonen können sich im Kern mit relativ großen Impulsen bewegen \item[$\Rightarrow$] gute Übereinstimmung mit Exp. - gilt aber nicht für leichte Kerne: \\ $\rightarrow$ kleinere Werte z.B. $^6\mathrm{Li}: p_\mathrm F^\mathrm{exp} = 169\,\frac{\unit{MeV}}{c}$ \\ $\rightarrow$ Fermi-Gas-Modell keine gute Näherung \\ aber z.B. $^{40}\mathrm{Ca}: p_\mathrm F^\mathrm{exp} = 249\,\frac{\unit{MeV}}{c}$ \end{enumerate} Energie des höchsten Zustands: \[E_\mathrm F = \frac{p_\mathrm F^2}{2M} = 33\unit{MeV}\qquad\text{kin. Energie} \] $\Rightarrow p_\mathrm F, E_\mathrm F$ hängen im Wesentlichen nicht von $A$ ab. \bigskip\\ $\rightarrow$ Potentialtopf: $V_0 = E_\mathrm F + B' \approx \mathrm{const} \approx 40\unit{MeV}$ \\ ${}\quad$ mit $B'$: Bindungsenergie/Nukleon $\sim$ 7-8MeV \medskip\\ $\Rightarrow$ Kin. Energie hat die gleiche Größenordnung wie $V_0$\\ ${}\quad\Rightarrow$Kerne: schwach gebundene Systeme \bigskip Die meisten Kerne: mehr Neutronen als Protonen\\ $\Rightarrow$ größere Tiefe des Neutronen-Potentialtopfs, $B'_\Pp \approx B'_\Pn$ sonst $\beta$-Zerfall \\ ${}\quad$ Im Mittel sind die Protonen weniger stark gebunden. (Coulomb) \bigskip Mittlere kin. Energie pro Nukleon im Kern: \[\left\langle E_\mathrm{kin}\right\rangle = \frac{\int\limits_0^{p_\mathrm F}E_\mathrm{kin} p^2\dd p}{\int\limits_0^{p_\mathrm F}p^2 \dd p} = \frac{3}{5}\,\frac{p_\mathrm F^2}{2M} \approx 20\unit{MeV}\] Totale kinetische Energie des Kerns: \begin{eqnarray*} E_\mathrm{kin}(N,Z) &\!\!\!=\!\!\!& N\cdot\left\langle E_\Pn\right\rangle + Z\cdot\left\langle E_\Pp\right\rangle = \frac{3}{10M} \left( N\cdot\left(p_\mathrm F^\Pn\right)^2 + Z\cdot\left(p_\mathrm F^\Pp\right)^2 \right) \\ &\!\!\!=\!\!\!& \frac{3}{10M}\,\frac{\hbar^2}{R_0^2}\left(\frac{9\pi}{3}\right)^\frac{2}{3}\frac{N^\frac{5}{3}+Z^\frac{5}{3}}{A^\frac{2}{3}} \qquad\qquad\text{mit }A = N+Z \end{eqnarray*} $E_\mathrm{kin}$ wird minimal für $N=Z \quad\Rightarrow B = \text{max}$ \bigskip\\ Entwicklung ein $(N-Z)$: \[E_\mathrm{kin}(N-Z) = \frac{3}{10M}\,\frac{\hbar^2}{R_0^2} \left(\frac{9\pi}{3}\right)^\frac{2}{3} \Biggl[\underbrace{A}_\text{Volumenterm} + \underbrace{\frac{5}{9}\,\frac{(N-Z)^2}{A}}_\text{Asym.-term} \Biggr]\] \section{Schalenmodell} \label{sect:schalen} \index{Schalenmodell}\index{Kernmodelle!Schalenmodell} Viele Kerneigenschaften sind durch das Tröpfchen- und das Fermi-Gas-Modell noch nicht erklärt, z.B. die magischen Zahlen. \begin{labeling}{Atom:} \item[Atom:] gefüllte Schale $\Rightarrow$ großes Ionisationspotential \item[Kern:] ähnliche Beobachtung $\Rightarrow$ magische Zahlen\\ $\to$ Nukleonen in definierten Energiezuständen $\Rightarrow$ Schalenstruktur \\ $\to$ Potentialmodell für unabh. Teilchen \end{labeling} \begin{description} \item[Startpunkt:] zentralsymmetrisches "`mean field"'-Potential\index{Potential!``mean field''-Potential}\\ $\to$ Nukleonen werden als unabhängig betrachtet \item[Wellenfunktion:] $\Psi = \underbrace{R_{nl}(r)}_\text{Radialanteil} \cdot \underbrace{Y_l^m(\theta, \varphi)}_\text{Winkelanteil}$ \begin{tabbing} Notation:\quad \= $n = 1,2,3\ldots$\quad \= = Anzahl der Knoten \\ \> $l = \mathrm{s,p,d,f}\ldots$ \> = Bahndrehimpuls \\ \> $nl$-Niveaus sind ursprünglich $\underbrace{2}_\text{Spin $\uparrow\downarrow$} \underbrace{\left(2l+1\right)}_{-l\,\ldots\,+l}$-fach entartet \end{tabbing} \end{description} \subsection*{Wie sieht das Potential aus?} Da die Kraft eine kurze Reichweite hat, erwartet man eine Form des Potentials, die der Dichteverteilung des Kerns entspricht. \\ $\to$ Lösen der Schrödinger-Gl. für das angenommene Potential\\ $\to$ Vergleich mit Experiment \begin{description} \item[leichte Kerne:] Spezialfall $A \le 7$: Gauß \medskip\\ Näherung $\to$ harm. Osz.-Pot $\Rightarrow$ analytische Lösung der Schrödinger-Gl. \[E = \left(N + \frac{3}{2}\right) \hbar\omega = \left( N_x + N_y + N_z + \frac{3}{2}\right) \hbar\omega\quad\qquad N = 2\left(n-1\right)+l \] $N$ gerade: positive Parität;\qquad\quad $N$ ungerade: negative Parität \medskip\\ Der Ansatz liefert die ersten drei magischen zahlen. \item[schwere Kerne:] Oszillatorpotential ist schlechte Näherung \medskip\\ \textbf{Woods-Saxon-Potential:}\index{Woods-Saxon-Potential} \index{Potential!Woods-Saxon-Potential}\qquad$\displaystyle V_\text{central}(r) = \frac{-V}{1 + \e^\frac{r-R}{a}}$ \medskip\\ $\Rightarrow$ Zustände mit gleichen $N$, aber unterschiedl. $nl$ sind nicht mehr entartet. \\ Die Zustände mit kleinerem $n$ und größerem $l$ liegen tiefer. \medskip\\ Auch hier werden nur die ersten drei magischen Zahlen reproduziert. \item[zusätzlich:] $LS$-Kopplung wichtig! \medskip\\ koppeln von $\vec l$ und $\vec s$ zu $\vec j \qquad\qquad j=l\pm \frac{1}{2}$ \begin{tabbing} Notation:\quad \= $nl_j\qquad$ \= $1\mathrm f_\frac{5}{2}\qquad$ \= Entartung: $\left(2j+1\right)$ \\ \> \> $1\mathrm f_\frac{7}{2}$ \end{tabbing} \item[Potential:] $\quad\displaystyle V(r) = V_\text{central}(r) + V_{ls}(r)\ \frac{(\vec l\cdot\vec s)}{\hbar^2}$ \medskip\\ Erwartungswert: \[\frac{(\vec l\cdot\vec s)}{\hbar^2} = \frac{j\left(j+1\right) - l\left(l+1\right) - s\left(s+1\right)}{2} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{l}{2} & \text{für } j = l + \frac{1}{2} \medskip\\ \frac{-\left(l+1\right)}{2} & \text{für } j = l - \frac{1}{2} \end{array} \right. \] Energie-Splitting: $\quad\displaystyle \Delta E_{ls} = \frac{2l+1}{2}\ \left\langle V_{ls}(r)\right\rangle $ \bigskip\\ Experiment: $V_{ls}$ ist negativ \begin{picture}(55,11) \put(2,-5){\line(1,0){22}} \put(2,11){\line(1,0){22}} \put(29,-7){\begin{footnotesize}$l+\frac{1}{2}$\end{footnotesize}} \put(29,9){\begin{footnotesize}$l-\frac{1}{2}$\end{footnotesize}} \end{picture} im Gegensatz zur Atomphysik. \end{description} \subsection*{Wichtiger Unterschied zum Atom:} \begin{tabbing} $ls$ im Atom \quad\=$\to$ Feinstruktur-Aufsp. $\to$ kleine Korrektur der E-Niveaus $\propto \alpha$ \\ $ls$ im Kern \>$\to$ größeres E-Splitting, vergleichbar mit Splitting der E-Niveaus \\ \>$\to$ $nl$-Schalen \end{tabbing} \subsection{Ein-Teilchen- \& Ein-Loch-Zustände} \index{Ein-Teilchen-Zustand}\index{Ein-Loch-Zustand} \index{Zustand!Ein-Teilchen-Zustand}\index{Zustand!Ein-Loch-Zustand} \begin{labeling}{Konzept:} \item[Konzept:] Die Eigenschaften des Kerns $J^P$ bestimmen sich durch die Eigenschaften des überzähligen Nukleons/Lochs. \\ $\to$ Nur die Valenz-Nukleonen/-Löcher bestimmen die Quantenzahlen! \end{labeling} Parität = $\left(-1\right)^l$ \qquad z.B. 1 Nukleon in $\mathrm d_\frac{5}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}^+$ %Beschleuniger (Kap. 8 aus Vorlesung) kommt nach Kap. 5!!!! \begin{thebibliography}{99} \addcontentsline{toc}{chapter}{Literaturverzeichnis} \bibitem{cite1} http://katalog.av-medien.net/html/katalog/elektrizitaet-2\_1627.htm \bibitem{cite2} http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/blb/chapter2/medialib/blb0202.html \bibitem{cite3} Zeichnung Philipp Wilking \bibitem{cite4} Folien zur Vorlesung \bibitem{cite5} Zeichnung Steffen Schaepe \bibitem{bib:fermi} A. Thiel, R. Panknin \textit{Protokoll zum FPI-Versuch $\beta$-Spektrometer}, Bonn (2003) \bibitem{cite6} W.~R.~Leo: \textit{Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments} \bibitem{cite7} http://nobelprize.org/physics/laureates/1992/illpres/electron.html \bibitem{cite8} http://www.wikipedia.de \bibitem{cite9} Folien zur Vorlesung \bibitem{cite10} Folien zur Vorlesung \bibitem{cite11} Folien zur Vorlesung \bibitem{cite12} Folien zur Vorlesung \bibitem{cite13} http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/grundl\_d\_tph/exp\_besch/exp\_besch\_06.html \end{thebibliography} \newpage \addcontentsline{toc}{chapter}{Index} \printindex \end{document}