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\title{Einführung in die Festkörperphysik - Zusammenfassungen\thanks{Eine \LaTeX -Mitschrift von Steffen Schaepe, Jan Hartmann und Christian Hammann}}
\author{R. Vianden \and P.-D. Eversheim}
\date{Sommersemester 2005}


\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\pagebreak

\section{Bindungtypen im Festkörper}

\subsection{Ionische Bindung}

\begin{itemize}
\item Tritt auf zwischen Atomen stark unterschiedlicher Elektronegativität (Gr. I / VII PSE)
\item Weitgehend kompletter Ladungstransfer von einem Atom zum Anderen
\item Ionenrümpfe können sich nicht durchdringen ("`Harte Kugeln"')
\item Bindungsenergie setzt sich zusammen aus:
%Unter-Aufzählumgebung
	\begin{itemize}
	\item Ionisierungsenergie (Atom I)
	\item Elektronenaffinitätsenergie (Atom II)
	\item Energiegewinn in Coulombpotential bei Annäherung auf $a_0$
	\end{itemize}
\item Bindung ist ungerichtet
\item Potential \[U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^m},\;B=1-2\unit{eV},\;m=8-10\] 
\item Gitterenergie kann berechnet werden durch Summation über alle Ionen des Kristalls
\item Für jeden Gittertyp ist die Madelung-Konstante charakteristisch
\end{itemize}


\subsection{Kovalente Bindung}

\begin{itemize}
\item Tritt auf zwischen Atomen, die beide ein Elektronendefizit haben
\item Es werden gemeinsame Molekülorbitale gebildet
\item Atomrumpf wird nach wie vor als harte Kugel betrachtet
\item Absenkung der Gesamtenergie erfolgt durch Konzentration der Elektronen \emph{zwischen} den Atomen
\item Bindung ist stark gerichtet
\end{itemize}


\subsection{Metallische Bindung}

\begin{itemize}
\item Tritt auf zwischen Atomen mit Elektronenüberschuss
\item Jedes Elektron gibt ein oder mehrere Elektronen an den Kristall ab (Ausschmierung, Elektronengas)
\item Dabei wird die Gesamtenergie abgesenkt $\rightarrow$ Bindung
\item Konsequenz: Der Kristall enthält frei bewegliche Elektronen $\rightarrow$ Leitung
\item Die Metallische Bindung ist ungerichtet
\end{itemize}


\subsection{Van der Waals-Bindung}

\begin{itemize}
\item Tritt zwischen Atomen oder Molekülen mit abgeschlossenen Elektronenschalen auf
\item Kein Ladungstransfer
\item Bindung durch Wechselwirkung zwischen Dipolen (entweder induziert oder permanent)

Abfall mit $\dfrac{1}{r^6}$ bzw. $\dfrac{1}{r^3}$
\item 10 - 30 mal schwächer als Primärbindung
\end{itemize}


\section{Kristalle}

\subsection{Arten:}
\begin{labeling}{Polykristallin:}
\item[Kristallin:]
        periodisch in drei Dimensionen, langreichweitige Ordnung \\
        Translationssymetrisch (Einkristall) mm - m
\item[Polykristallin:]
        auf kurzen Längenskalen ($\mathrm{\mu m}$ - mm) kristallin \newline $\rightarrow$ Körner / Korngrenzen
\item[Amorph:]
        Nahordnung; keine Fernordnung über einige mm
\end{labeling}

Beschreibung durch radiale Verteilungsfunktion

\subsection{Definition:}
\begin{itemize}
\item Kristall = (Punkt)gitter + Basis
\item Punktgitter ist eine mathematische Konstante definiert durch die Basisvektoren
	$\vec a_1$, $\vec a_2$, $\vec a_3$ \newline
	$\Rightarrow$ Gittervektoren: $\vec R_{hkl} = h\vec a_1 + k\vec a_2 + l\vec a_3$
\item Basis: mindestens ein Atom $\rightarrow$ bel. kompliziertes Molekül
\item Einheits- oder Elemetarzelle: füllen den Raum lückenlos
\item primitive EZ: enthält nur 1 Basis (Atom)
\item $V_{EZ} = \vec a_1 \cdot \left( \vec a_2 \times \vec a_3 \right)$
\end{itemize}


\subsection{Symmetrie des Punktgitters}
\begin{labeling}{Spiegelungen:}
\item[Translation:] $n\, \vec a_1$, $n\, \vec a_2$, $n\, \vec a_3$, $n$ ganzzahlig
\item[Rotation:] 1, 2, 3, 4 oder 6 zählige Achsen
\item[Spiegelungen:] $m$ mirrorplanes
\item[Inversion]
\end{labeling}

\subsection{Gittertypen}
\begin{itemize}
\item 32 Kristallklassen
\item 7 Kristallsysteme
\item 14 Bravaisgitter \newline
	$\rightarrow$  Die wichtigsten sind:
	\begin{itemize}
	\item Kubisch-flächenzentriert kfc (fcc)
	\item Kubisch-raumzentriert krz (bcc) \newline
		$\rightarrow$ Stapelfolge ABCABC...
	\item Hexagonal hcp \newline
		$\rightarrow$ Stapelfolge ABAB...
	\item 95\% der Elememtkristalle liegen in einer dieser Formen vor
	\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Miller Indizes}
\begin{itemize}
\item Eine Richtung im Gitter wird durch drei ganze Zahlen beschrieben.
	Dazu wird ein Vektor in die gewünschte Richtung mit den kleinstmögnichen ganzzahligen 
	Komponenten der Basisvektoren gewählt.
\item Auftretende negative Zahlen werden mit einem Überstrich gekennzeichnet
\item Die Zahlentrippel werden in
	\begin{itemize}
	\item $\left[ \; \right]$  gesetzt wenn es sich um eine spezielle Richtung handelt.
	\item $\left\langle \; \right\rangle$ wenn es sich um die Klasse der Richtungen handelt.
	\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Reziproke Gitter}
Vektoren:
\begin{eqnarray*}
\vec g_1&\!\!\!=\!\!\!&2\pi\, \frac{\left( a_2 \times a_3\right) }{a_1\cdot \left( a_2\times a_3\right)}=2\pi\, \frac{\left( a_2 \times a_3\right) }{V_\mathrm{EZ}} \\
\vec g_2&\!\!\!=\!\!\!&2\pi\, \frac{\left( a_3 \times a_1\right) }{a_1\cdot \left( a_2\times a_3\right)}=2\pi\, \frac{\left( a_3 \times a_1\right) }{V_\mathrm{EZ}} \\
\vec g_3&\!\!\!=\!\!\!&2\pi\, \frac{\left( a_1 \times a_2\right) }{a_1\cdot \left( a_2\times a_3\right)}=2\pi\, \frac{\left( a_1 \times a_2\right) }{V_\mathrm{EZ}}
\end{eqnarray*} 

\subsection{Defekte in Kristallen}
Defekte bestimmen sehr weitgehend die Eigenschaften realer Kristalle
\begin{enumerate}
\item 0-dimensionale- oder Punktdefekte, Leerstellen, Zwischengitteratome 
	\begin{itemize}
	\item Konzentration \[C_\mathrm{LS}(T)=\frac{n_\mathrm{LS}}{N} \exp\left( -\frac{H^f_\mathrm{LS}}{kT}\right) \]
	\item Unterteilung:
		\begin{description}
		\item{Schottky-Defekte:} Thermisch generiert, $H_\mathrm{LS}^f=gkTm$
		\item{Frenkel-Defekte:} Nicht thermisch generiert, $H_\mathrm{LS+ZGA}^f\approx35kTm$
		\end{description}
	\end{itemize}
\item 1-dim Defekte
	\begin{itemize}
	\item Stufen-, Schraubversetzungen, Riss \newline
	$\rightarrow$ Charakterisiert durch Burgersvektor und Linienvektor
	\end{itemize}
\item 2-dim Defekte
	\begin{itemize}
	\item Oberflächen
	\item Korngrenzen
	\item Stapelfehler
	\end{itemize}

\item 3-dim Defekte
	\begin{itemize}
	\item Hohlräume (Voids, Cavities, Bubbles)
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Dynamik des Kristallgitters}
\begin{itemize}
        \item Adiabatische Näherung ($\mathrm e^-$ immer bei $E_\mathrm{kin}$)
        \item Harmonische Näherung für das Potential
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 1-atomige lineare Kette
	\begin{itemize}
	\item Ebene Wellen:
        	$\Psi\left( k, t \right) = \exp\bigl( \mathrm i \left( kna-\omega t \right) \bigr)$
	\item Dispersionsrelation:
        	$ w = 2 \cdot \sqrt{ \frac{K}{m} \sin \left( \frac{1}{2} k \omega \right)}$
	\item Rechts- und linkslaufende Wellen sind äquivalent
	\item Maximalfrequqnz $ \omega_\mathrm{max} = 2 \cdot \sqrt{\frac{K}{m}}$
	\item Nur eine Dispersionsrelation für alle Atome ($n$ fällt weg)
	\item Darstellung in der ersten Brillouinzone ausreichend
	\item Bewegungen, die zu Dichtefluktuationen führen \\
        	$\Rightarrow$ akustisch (1 longitudinal akustisch, 2 transversal akustisch)
	\item Periodische Randbedingung für endliche Kristalle \\
        	$\Rightarrow$ $N$ erkaubte $k$-Werte bei $N$ EZ
	\end{itemize}

\item 2-atomige Kette
	\begin{itemize}
	\item Ebene Wellen
	\item Dispersionsrelation mit zwei Zweigen:
        	\begin{itemize}
        	\item akustisch mit 1 LA, 2 TA
        	\item optisch mit 1 LO, 2 TO
        	\end{itemize}
	\item Werte bei $k \approx 0$:
	        $\omega_- = 0$ akustisch \qquad $\omega_+ = \dfrac{2K}{m\cdot M/m+M}$ optisch
	\item bei $k = \dfrac{\pi}{2}$: $\omega_- = \sqrt{\dfrac{2K}{M}}$, $\omega_+ = \sqrt{\dfrac{2K}{m}}$
	\item in beliebigem Kristall: 3 akustische Äste, $3z - 3$ optische Äste \\
	        $z$: Anzahl der Atome in EZ
	\end{itemize}

\end{enumerate}


\subsection{Phononen}
\begin{enumerate}
\item Phononen: Quanten des Verschiebungsfeldes der Atome
\item Können wie (Quasi-)Teilchen behandelt werden
\item Energie eines Phonons: $E_\mathrm{Ph}=\hbar \omega$
\item Impuls: $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ (Kristallimpuls)
\item Kristall in der Anregungsstufe $n=10$ bei $\vec{k_i}$ enthält 10 Phononen mit $\vec{k_i}$
\item Phononen können erzeugt und vernichtet werden
\item Spin = 0 $\Rightarrow$ Bosonen
\end{enumerate}

\subsection{Wärmeleitung, Wärmewiderstand in Isolatoren}
\begin{itemize}
\item das rein harmonische Gitterpotential führt zu unendlich guter Wärmeleitung, es gibt keine Wechselwirkung zwischen Phononen
\item Phononen können wie Teilchen eines idealen Gases behandelt werden
\item Wellenpakete $\Delta x = \frac{1}{\Delta k}$ groß gegen Dimension der Einheitszelle aber klein gegen die des Kristalls
\item Einführung anharmonischer Terme im Potential (3. und 4. Ordnung) \\
	$\rightarrow$ Phonon-Phonon-Streuung: Normalprozesse, Umklappprozesse
\item nur die Umklappprozesse erzeugen einen Wärmewiderstand
\item Temperaturverlauf des Wärmeleitungskoeffizienten $K=\frac{1}{3}c_V\, v_G\, l$ wird bestimmt durch \\
	$\begin{array}{ll}
	l & \left\{ \begin{array}{ll} 	T \ll \Theta_D & \hbox{$l$ konst., abhängig von Kristalldim.} \\
					T \gg \Theta_D & \hbox{$l$ sinkt mit $\frac{1}{T}$}
		\end{array} \right. \\
	c_V & \left\{ \begin{array}{ll}	T \ll \Theta_D & \hbox{$c_V$ steigt mit $T^3$ (Debeje Modell)} \\
					T \gg \Theta_D & \hbox{$c_V$ konst. (Dulong-Petit)}
		\end{array} \right.
	\end{array}$
\end{itemize}


\end{document}