\documentclass[a4paper,11pt,fleqn,twoside,headexclude]{scrreprt} \usepackage{physik} \usepackage{braket} \usepackage{pennames} \usepackage{feynmf} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext} \usepackage{graphicx} \usepackage[automark]{scrpage2} \usepackage{units} \usepackage{hyperref} \usepackage{makeidx} \usepackage{revsymb} \usepackage{cancel} \pagestyle{scrheadings} \ihead[]{Elementarteilchenphysik SS 2006} \ohead[]{\leftmark} \chead[]{} \makeindex \title{Elementarteilchenphysik\thanks{Eine \LaTeX-Mitschrift von Jan Hartmann, Philipp Wilking, Tobias Seifen \ldots} \\ Universität Bonn - SS 2006} \author{N. Wermes \and E. von Törne} \begin{document} \setlength{\parindent}{0pt} \maketitle \tableofcontents \chapter{Einführung} \begin{tabular}{ll} $\lesssim$ 1890 & klassische Physik \\ $>$ 1897 & Atomphysik \\ $\gtrsim$ 1925 & Kernphysik \\ $\geq$ 1950 & Teilchenphysik \\ $\geq$ 1970 & moderne Teilchenphysik ($\underbrace{\text{Quarks \& Leptonen}}_{\text{punktförmig } (<\unit[10^{-18}]{m})}$) \end{tabular} \subsubsection*{fundamentale Wechselwirkungen:} \index{Wechselwirkungen}\index{Wechselwirkungen!fundamentale} \[\left. \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \text{em} \\ \text{schwach} \\ \text{stark} \end{array}\right\} \text{Grand unification (GU) \index{Grand unification}} \\ \begin{array}{l} \text{grav.} \end{array} \qquad \text{ab } \unit[10^{19}]{GeV}\text{: QM-Grav. nötig} \end{array}\right\} \unit[10^{19}]{GeV}\] \begin{itemize} \item Sind $\Pq, \Pl$ wirklich die elementaren Bausteine? $\to$ Unterstruktur? \item Gibt es \emph{eine} fundamentale WW? \item Teilchenphysik $\leftrightarrow$ Hochenergiephysik (HEP) \[\Delta p \propto \frac{\hbar}{\Delta x} = \frac{\hbar c}{\Delta x \cdot c} = \frac{\unit[200]{GeV\,fm}}{\unit[10^{-2}]{fm}\cdot c} = 200\,\frac{\unit{GeV}}{c}\] kleine Längenskalen $\leftrightarrow$ hohe Impulsüberträge \item Teilchenbeschleuniger ($E \gtrsim 10$ - $\unit[100]{GeV}$) \begin{itemize} \item fixed target (SPS, CERN; TEVATRON, fermilab, Chicago) \item \begin{tabbing} collider\quad(\=LEP, CERN: \qquad\ \=\Pep\Pem\quad\=$\unit[200]{GeV}$\quad\=(bis 2000),\quad\=eff. $\unit[200]{GeV}$;\\ \>HERA, Hamburg: \>\Pe\Pp\>$\unit[320]{GeV}$ \>(bis 2008); \\ \>TEVATRON: \>\Pap\Pp\>$\unit[2]{TeV}$ \>(bis 2009); \\ \>LHC, CERN: \>\Pp\Pp\>$\unit[14]{TeV}$ \>(ab 2007) \> eff. $\approx \unit[1]{TeV}$) \end{tabbing} \end{itemize} \begin{figure}[!h!t] \centering \includegraphics[width=1.01\textwidth]{01lep1} \fbox{\includegraphics[width=\textwidth]{01lep2}} \caption{LEP (CERN, Genf): $\unit[200]{GeV}\ \Pem \Pep$ Kollisionen} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \includegraphics[width=0.91\textwidth]{01hera} \caption{HERA: $\Pe (\unit[28]{GeV}) + \Pp (\unit[320]{GeV}$} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{01fermilab}} \caption{Fermilab (USA): Tevatron (+ Main Injector/Recycler)} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \includegraphics[width=0.96\textwidth]{01lhc} \caption{LHC (CERN): $\unit[14]{TeV}$} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[height=2.2cm]{01papcoll1} \includegraphics[height=2.2cm]{01papcoll2}} \caption{Proton-(Anti)Proton-Kollision} \end{figure} \end{itemize} \subsubsection*{Beziehung zur Kosmologie:} \begin{tabular}{lcc} \!\!\!heißes frühes Universum expandiert und kühlt dabei ab:\qquad& Big Bang & heute \medskip\\ & $t\approx \unit[10^{-43}]{s}$ & $\unit[13,7]{Gyrs}$ \\ & $T > \unit[10^{22}]{K}$ & $\unit[3]{K}$ \\ & $E > \unit[10^{18}]{GeV}$ & $\unit[\frac{1}{4}]{meV}$ \\ & Skalen $< \unit[10^{-35}]{m}$ & $\unit[10^{26}]{m}$ \end{tabular} \begin{table}[!h!t] \centering \begin{tabular}{|c|c|l|} \hline $t\,[\unit{s}]$ & $E\,[\unit{GeV}]$ & \multicolumn{1}{c|}{Epoche} \\ \hline $<10^{-43}$ & $>10^{19}$ & QM-Grav. \\ $10^{-35}$ & $10^{16}$ & GU \\ $10^{-12}$ & 100 & electroweak unification \\ $10^{-6}$ & 1 & Quarks $\to$ Hadronen \\ 1 & $\unit[1]{MeV}$ & Kerne \\ $\unit[10^{5}]{yrs}$ & $\unit[1]{eV}$ & Atome \\ $3,7\cdot \unit[10^{5}]{yrs}$ & $\unit[0,3]{eV}$ & Materie und Strahlung trennen sich \\ heute & $\unit[1]{meV}$ & Galaxien / Hintergrundstrahlung \\ \hline \end{tabular} \caption{Entwicklung des Universums} \end{table} \section{Leptonen \& Quarks} \index{Leptonen}\index{Quarks} \index{Fermionen} \begin{tabular}{p{9cm}p{4.8cm}} Spin $\frac{1}{2}$ \newline $Q = \underbrace{0 \text{ oder } -e}_\text{Leptonen} \qquad\qquad Q = \underbrace{\frac{2}{3}\,e \text{ oder } -\frac{1}{3}\,e}_\text{Quarks}$ & \begin{tabular}[t]{lccc} & \Pl &\quad& \Pq \\ em WW & \checkmark & & \checkmark \\ schwache WW\quad & \checkmark & & \checkmark \\ starke WW & $-$ & & \checkmark \\ grav. WW & \checkmark & & \checkmark \end{tabular} \end{tabular} \subsubsection*{Dubletts (3 Familien):} \begin{tabular}{ccccccc} \multicolumn{3}{c}{\textbf{Teilchen}} &$\qquad$ & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Massen/\boldmath{$c^2$}}} \medskip\\ $\left(\begin{array}{c}\Pgne\\\Pem\end{array}\right)$ & $\left(\begin{array}{c}\Pgngm\\\Pgmm\end{array}\right)$ & $\left(\begin{array}{c}\Pgngt\\\Pgtm\end{array}\right)$ & & $\begin{array}{c}<\unit[25]{eV}\\\unit[0,511]{MeV} \end{array}$ & $\begin{array}{c}<\unit[190]{keV}\\\unit[106]{MeV} \end{array}$ & $\begin{array}{c}<\unit[18]{MeV}\\\unit[1777]{MeV} \end{array}$ \medskip\\ $\left(\begin{array}{c}\Pqu\\\Pqd\end{array}\right)$ & $\left(\begin{array}{c}\Pqc\\\Pqs\end{array}\right)$ & $\left(\begin{array}{c}\Pqt\\\Pqb\end{array}\right)$ & & $\begin{array}{c}\sim \unit[3]{MeV}\\\sim \unit[6]{MeV} \end{array}$ & $\begin{array}{c}\unit[1300]{MeV}\\\unit[150]{MeV} \end{array}$ & $\begin{array}{c}\unit[175000]{MeV}\\\unit[4300]{MeV} \end{array}$ \bigskip\\ \multicolumn{3}{l}{$\left|m_\Pgngm^2 - m_\Pgne^2\right| > 0\quad (\unit[7]{meV})^2$} & & \multicolumn{3}{l}{$\left|m_\Pgngt^2 - m_\Pgngm^2\right| > 0\quad (\unit[50]{meV})^2$} \end{tabular} \begin{tabbing} $\left.\begin{array}{l}\frac{m_\Pqt}{m_\Pqu} = 3\cdot 10^5 \medskip\\ \frac{m_\Pqt}{m_\Pgn} = 10^{14} \end{array}\right\}$ warum? \qquad\qquad\=$\to$ FQ \\ \\ Warum 3 Familien? \> $\to$ FQ \end{tabbing} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[height=7.4cm]{01massen1} \includegraphics[height=7.4cm]{01massen2}} \caption{Quark- und Leptonenmassen} \end{figure} \section{Anti-Teilchen} \index{Anti-Teilchen} zu jedem $f$ $\to$ anti-$f$ ($\overline f$) \medskip 1928 (Dirac): de-Broglie-WF\qquad $\displaystyle \Psi(\vec x, t) = \Psi(\vec 0,0)\ \e^{\frac{i}{\hbar}\left(\vec p\cdot \vec x - Et\right)}$\qquad\qquad $\nu=\frac{E}{h}, \lambda = \frac{h}{p} $ \medskip\\ $E = \dfrac{p^2}{2m} \to i\hbar\partial_t \to$ Schrödinger \smallskip\\ $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 \to$ Klein-Gordon \qquad $-\hbar^2\partial_t^2\,\Psi = \left(-\hbar^2c^2\nabla + m^2c^4\right)\Psi$ \medskip\\ Lösung mit $E^2(p=0) = -m^2c^4$ \qquad\qquad $\Psi^*\Psi$ nicht pos.-definit \begin{labeling}{Dirac:} \item[Dirac:]$\displaystyle i\hbar\partial_t\,\Psi = \left(-i\sum\alpha_k \deriv{x^k} + \beta m\right)\Psi$\qquad löst $\Psi^*\Psi$-Problem \smallskip\\ immer noch negative $E$-Lösungen! \item[Idee:] alle $E<0$ sind mit einem See aus Fermionen (\Pem) besetzt \\ Loch $\to$ Verschwinden von \Pem\ $ \widehat{=}$ Auftreten eines \Pep \end{labeling} \begin{tabbing} Entdeckung des ersten Antiteilchens: \=Anderson 1933 (Nobelpreis 1936) \\ \>$\bar{\mathrm e}^- = \Pp$? Nein! (siehe Abb. \ref{fig:positron}) \end{tabbing} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.73\textwidth]{01positron}} \caption{Entdeckung des Positrons} \label{fig:positron} \end{figure} \begin{itemize} \item Fermionen und Antifermionen können nur paarweise erzeugt und vernichtet werden. \item \Pap\ 1956 \item $\overline{\mathrm H}$ (\Pep\Pap) CERN 1985 \item Materie-Antimaterie-Unsymmetrie $\quad\to$ FQ \item CP-Verletzung (experimentell bewiesen) könnte Ursache sein \end{itemize} \section{Hadronen = Baryonen und Mesonen} \index{Hadronen} Man geht davon aus, dass freie Quarks nicht existieren. Stattdessen kommen Quarks in forlgenden 2 Kombinationen vor: \begin{description} \item[Mesonen] bestehen aus je einem Quark und Antiquark, sie unterliegen der Starken WW. \index{Baryonen} \\ $\Pgpm = \Paqu \Pqd \qquad\qquad\ \tau = \unit[10^{-8}]{s}$ \item[Baryonen] bestehen aus drei Quarks (bzw. drei Antiquarks).\index{Mesonen}\\ $\Pp = \Pqu\Pqu\Pqd \qquad\qquad \tau > \unit[10^{33}]{yrs}$ \\ $\Pn = \Pqu\Pqd\Pqd \qquad\qquad \tau = \unit[10]{min}$ \end{description} In vielen Experimenten wurde erfolglos nach Teilchen aus mehr Quarks (z.B. $\Pq\Pq \Paq\Paq$ oder Pentaquarks \index{Pentaquark} $\Pqu\Pqu\Pqd\Pqd\Paqs$) gesucht. Letzteres wurde angeblich nachgewiesen, jedoch lässt sich das Experiment nicht verifizieren. \section{Kräfte und Wechselwirkungen} \index{Wechselwirkungen} Konzept: \emph{alle} WW erfolgen durch Austauschteilchen (Bosonen) \index{Bosonen} \begin{table}[ht] \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Teilchen & $m$ & Anzahl & $\mathrm{Spin}^P$ & WW & rel. Stärke & Reichweite \\ \hline \Pgg & 0 & 1 & $1^-$ & em & 1 & $\infty$ \\ \Pg & 0 & 8 & $1^-$ & stark & 2000 & $\approx \unit[1]{fm}$ \\ $\PWp,\PWm$ & $\unit[80]{GeV}/c^2$ & 3 & 1 & schwach & $10^{-4}$ & $\ll \unit[1]{fm}$ \\ $\PZz$ & $\unit[91]{GeV}/c^2$ & 3 & 1 & schwach & $10^{-4}$ & $\ll \unit[1]{fm}$ \\ G & 0 & 1 & $2^+$ & grav. & $10^{-36}$ & $\infty$ \\ \hline \end{tabular} \caption{Eigenschaften der Bosonen} \end{table} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=\textwidth]{01austausch}} \caption{Austausch eines Bosons} \end{figure} \subsection{relative Stärke} \begin{itemize} \item $\displaystyle V_\mathrm{em}(r) \propto \frac{e^2}{r} \quad\stackrel{\mathrm{FT}}{\longrightarrow}\quad V_\mathrm{em}(q) \propto \frac{e^2}{q^2}$ \qquad\qquad ($q$ Impulsübertrag) \item $\displaystyle V_\mathrm{grav}(r) = G_\mathrm N \frac{m^2}{r} \quad\stackrel{\mathrm{FT}}{\longrightarrow}\quad V_\mathrm{grav}(q) = G_\mathrm N \frac{m^2}{q^2} \qquad G_\mathrm N = 6,7\cdot 10^{-33}\,\hbar c\left(\frac{\unit{GeV}}{c^2}\right)^{-2}$ \[\Rightarrow \frac{V_\mathrm{em}}{V_\mathrm{grav}} = 10^{36} \] \item $\displaystyle V_\mathrm{schwach}(r) = \frac{g_\mathrm w^2}{r}\,\e^{m_\PW^2c^2\frac{r}{\hbar c}} \quad\stackrel{\mathrm{FT}}{\longrightarrow}\quad V_\mathrm{schwach}(q) \propto \frac{g_\mathrm w^2}{q^2 + m_\PW^2c^2}$ \qquad (Yukawa) \\ limitierte Reichweite $\leftrightarrow \frac{1}{m}$ \qquad\quad $\frac{g_\mathrm w^2}{\hbar c} \approx 0,004$ \qquad\quad offensichtlich abh. von $q^2$ \smallskip\\ nat. Wahl \quad $q^2c^2 = m^2c^4 = \left(\unit[1]{GeV}\right)^2 \quad\to V(q) \propto \left(\frac{1}{80}\right)^2$ \[\Rightarrow \frac{V_\mathrm{schwach}}{V_\mathrm{em}} \approx \underbrace{\left(\frac{\hbar c}{e^2}\right)}_{137} \underbrace{\left(\frac{g_\mathrm w^2}{\hbar c}\right)}_{0,004} \frac{1}{80} = 8\cdot 10^{-5} \] \item $\displaystyle V_\mathrm{stark}(r) = \frac{g_\mathrm s^2}{r}\,\e^{-m_\Pgp^2c^2\frac{r}{\hbar c}} \qquad\qquad m_\Pgp \approx 138\,\frac{\unit{MeV}}{c^2} $ \[\Rightarrow \frac{V_\mathrm{stark}}{V_\mathrm{em}} \approx \underbrace{\left(\frac{\hbar c}{e^2}\right)}_{137} \underbrace{\left(\frac{g_\mathrm s^2}{\hbar c}\right)}_{\approx 15} \underbrace{\frac{1}{1+m_\Pgp^2c^2}}_{\approx 1} = 2000 \] \end{itemize} \subsection{Reichweite} \[R \sim \frac{\hbar}{m_\mathrm x c} =\frac{\hbar c}{m_\mathrm x c^2} \qquad\text{(Comptonwellenlänge)} \qquad \begin{array}{ll}\rightarrow\,\approx\,\unit{fm} & \text{starke WW} \\ \rightarrow\,\ll\unit{fm} & \text{schwache WW}\end{array} \] Lebensdauer charakt. durch Art der WW. \medskip\\ \hspace*{20pt} \begin{tabular}{lll} starker Zerfall & $\sim \unit[10^{-24}]s$ & $\varrho^0 \to \Pgpp\Pgpm$ \\ em Zerfall & $10^{-16}$ - $\unit[10^{-20}]s$\quad & $\Pgpz \to \Pgg\Pgg$ \\ schwacher Zerfall \quad& $10^{-6}$ - $\unit[10^{-15}]s$ & $\Pn \to \Pp\,\Pem\Pagne$ \end{tabular} \subsection{Erfolgreiche Theorien (QED,QCD)} $\widehat =$ lokale Eichtheorien mit \emph{masselosen} Austauschteilchen \\ $\to$ neues Teilchen: Higgs $\to$ Standard-Modell \index{Standard-Modell} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{01stdmodel}} \caption{Standard-Modell} \end{figure} \chapter{Grundlagen} \section{Natürliche Einheiten} \index{natürliche Einheiten} \subsubsection*{MKS, CGS:} \[m_p=\unit[1,67 \cdot 10^{-27}]{kg}\] \[\left[ c \right]=\left[ \frac{\text{Länge}}{\text{Zeit}} \right], \qquad \left[ \hbar \right]=\left[ \text{Energie} \cdot \text{Zeit} \right]\] \begin{eqnarray*} \hbar=\unit[1,055 \cdot 10^{-34}]{\underbrace{\unit{Js}}_{\unit{V\,Cs}}} & = & \unit[1,055 \cdot 10^{-34}]\cdot \dfrac{e}{\unit[1,6 \cdot 10^{-19}]{C}}\cdot \unit{Vs}\cdot 10^{-9} \\ & = & \unit[6,6 \cdot 10^{-25}]{Ge\, Vs} \end{eqnarray*} \subsubsection*{Natürliche Einheiten:} \[\left[ \text{Energie} \right]=\left[ \text{Masse} \right]=\left[ \text{Länge}^{-1} \right]=\left[ \text{Zeit}^{-1} \right]\] \[\hbar=c=1\] \[\hbar c=\unit[200]{GeV\,fm}\] \begin{enumerate} \item $E^2=p^2c^2+m^2c^4 \qquad \rightarrow E^2=p^2+m^2$ \item Wellenlänge, die der Ruhemasse entspricht: \begin{eqnarray*} \index{Comptonwellenlänge} \index{Wellenlänge!Compton} \text{Comptonwellenlänge}\quad \lambdabar_{\text{C}} & = & \dfrac{\hbar c}{mc^2} \rightarrow \frac{1}{m}\\ \text{für das Elektron:}\quad \lambdabar_{\text{C}} & = & \dfrac{\unit[200]{GeV\,fm}}{\unit[0,511]{\frac{MeV}{c^2}}}=\unit[400]{fm} \end{eqnarray*} \item de-Broglie-Wellenlänge: "`entspricht"' der Bewegung eines Teilchens (Impuls $\vec p$) \index{Wellenlänge!de-Broglie} \index{de-Broglie-Wellenlänge} \[\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{p},\qquad \lambdabar_{\text{dB}}=\frac{\hbar}{p}=\frac{1}{p}\] \[E^2=m^2+p^2=\frac{1}{\lambdabar_{\text{C}}^2}+\frac{1}{\lambdabar_{\text{dB}}^2}\doteq\frac{1}{\lambdabar^2}\] \[p=\underbrace{\gamma m_0}_{\text{relat. Masse}} v, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\] \end{enumerate} \section{Relativistische Schreibweisen} \begin{labeling}{Energie-Impuls-Vektor:\quad} \item[Raum-Zeit-Vektor:] $\fvec{x}=\left( \cancel{c}t,x,y,z \right)=\left( t, \vec x \right)=\left( x^0, \vec x \right)$\\ $x^\mu$ kontravariant, $x_\mu$ kovariant:\\ $x_\mu=\left( x^0, -\vec x \right)$ \item[Energie-Impuls-Vektor:] $\fvec{p}=\left( E, \vec p \right)=\left( p^0, \vec p\right)$ \end{labeling} \begin{labeling}{Metrik:\quad} \item[Metrik:] Skalarprodukt\index{Metrik}\\ Transformation $x^\mu \rightarrow x_\mu:\quad x^\nu=g^{\mu\nu}x_\mu$\\ Abstandsmaße \end{labeling} \[ g^{\mu\nu}=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array} \right)\qquad \text{euklidischer Raum}\] \[\rightarrow x_\mu x^\mu= \sum_{\mu,\nu=0}^3{g^{\mu\nu}x_\nu x_\mu}=\left(x^0\right)^2-\left|\vec x\right|^2 =: D^2\] \begin{tabbing} $\left|\fvec x\right|^2=x_\mu x^\mu$ \hspace*{5cm} \= Lorentz-invariant\\ \index{Lorentz-invariant} $\fvec p^2=p_\mu p^\mu=\left(p^0\right)^2-\left|\vec p\right|^2=E^2-p^2$ \> relativistisch invariant \end{tabbing} \subsection{Invariante Masse} \index{Invariante Masse} \underline{Beispiel:}\qquad$ \Pgrz \rightarrow \Pgpp \Pgpm$ \begin{eqnarray*} \left(\fvec p_1\right)^2 & = & \left(p_2+p_3\right)_\mu\left(p_2+p_3\right)^\mu \\ & = & \left(E_2+E_3\right)^2-\left(\vec{p}+\vec{p}\right)^2 \\ & = & \underbrace{{\left(\fvec p_2+\fvec p_3\right)}^2}_{\text{invariante Masse}} \end{eqnarray*} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{02resonanz}} \caption{Identifikation einer Teilchenresonanz} \end{figure} \subsection{Arten von Vierervektoren} \begin{tabbing} zeitartig: \qquad $D^2=t^2-{\vec x}^2$ \= $> 0$\index{zeitartig}\\ raumartig: \> $< 0$\index{raumartig}\\ lichtartig: \> $= 0$\index{lichtartig} \end{tabbing} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{02lightcone}} \caption{Lichtkegel}\index{Lichtkegel} \end{figure} \section{Lorentz-Transformationen} Transformation: Laborsystem $S \longrightarrow$ Teilchenruhesystem $S'$ \begin{eqnarray*} ct' & = & \gamma \left( ct-\beta x \right)\\ t' & = & \gamma t - \beta\gamma x\\\\ x' & = & \gamma x - \beta\gamma t\\ y' & = & y\\ z' & = & z \end{eqnarray*} \[ \Lambda=\left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \] \begin{eqnarray*} {x^\mu}' & = & \Lambda^\mu_\nu x^\nu\\ \rightarrow {\left( x_\mu x^\mu \right)}' & = & \left( \gamma t - \beta\gamma x \right)^2-\left( \gamma x - \beta\gamma t\right)^2 = \ldots = x_\mu x^\mu\\ \Delta x & = & \frac{1}{\gamma} \Delta x' \qquad \text{für } \Delta t = 0 \end{eqnarray*} Eigenzeit (Lebensdauer) $\mathrel{\widehat{=}} \Delta t'$ \index{Eigenzeit} \index{Lebensdauer} \begin{eqnarray*} \dd \tau^2 - \left( \dd \vec x' \right)^2 & = & \dd t^2 - \left( \dd \vec x \right)^2 \qquad\qquad \text{invariant}\\ & = & \dd t^2 \underbrace{\left( 1- \frac{\left(\dd \vec x\right)^2}{\dd t^2}\right)}_{1-\beta^2=\frac{1}{\gamma^2}}\\ \rightarrow \underbrace{\dd \tau}_{\text{CMS}} & = & \frac{1}{\gamma} \underbrace{\dd t}_{\text{Lab}} \end{eqnarray*} \underline{Beispiel:} Höhenstrahlung \index{Höhenstrahlung} \begin{tabbing} $\tau \left( \Pgmm \right)= \unit [2,2 \cdot 10^{-6}]{s}$\qquad \= $x = v \tau = \beta c \tau $ \= $ < \unit [600]{m}$\\ \> $vt = \gamma \beta c \tau $ \> $ > \unit[10]{km}$ \end{tabbing} Lorentz-Transformation für $\left( E, \vec p \right)$ \[ \underbrace{\left( \begin{array}{c}E \\p \end{array} \right)}_{S:\text{Lab}} = \left( \begin{array}{cc}\gamma & - \beta\gamma\\- \beta\gamma & \gamma \end{array} \right) \cdot \underbrace{\left( \begin{array}{c}m \\0 \end{array} \right)}_{S':\text{CMS}}\] \begin{eqnarray*} \rightarrow E & = & \gamma m\\ p & = & \beta\gamma m \end{eqnarray*} \qquad\fbox{$\displaystyle \gamma = \frac{E}{m}\qquad\qquad \beta = \frac{p}{E} \qquad\qquad \beta\gamma = \frac{p}{m}$} \[E = \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + \underbrace{\frac{1}{2} m_0 v^2 + \frac{3}{8} m_0 \frac{v^4}{c^2}}_{E_\mathrm{rel}}\] \subsubsection*{Bemerkung:} $m=0$ oder $m\ll p \Rightarrow E=|\vec p|$\\ z.B. $\unit [10]{GeV} \Pgmm \left( m_\mu=\unit[106]{MeV} \right) \Rightarrow E=|\vec p|$ genau auf $5\cdot 10^{-5}$ \section{``Fixed target'' und ``colliding beams''} \index{fixed target} \index{colliding beams} \begin{picture}(400,30) \put(30,5){\vector(1,0){70}} \put(35,20){$\fvec p_1 = ( E_1, \vec p_1)$} \put(120,20){$\fvec p_2 = ( m_2, \vec 0)$} \put(122,3){$\bullet$} \put(250,5){\vector(1,0){70}} \put(255,20){$\fvec p_1 = ( E_1, \vec p_1)$} \put(400,5){\vector(-1,0){70}} \put(330,20){$\fvec p_2 = ( E_2, - \vec p_2)$} \end{picture} \[ s := \left( \fvec p_1 + \fvec p_2\right)^2 = \left( \fvec p_1 + \fvec p_2\right)_\mu \left( \fvec p_1 + \fvec p_2\right)^\mu = E^2_\mathrm{CMS} \qquad\text{Lorentz-invariant} \] \subsection{Center of mass system (CMS)} \index{CMS} \[ \fvec p_1^* = (E_1^*, +\vec p^*) \qquad\qquad \fvec p_2^* = (E_2^*, -\vec p^*) \] \[s_\mathrm{CB} = \left(E_1^* + E_2^*\right)^2 = \left(E_1 + E_2\right)^2 - \left(\vec p_1 - \vec p_2 \right)^2 = E^2_\mathrm{CMS} \] \subsection{FT-Laborsystem} \index{Laborsystem} \[\left(\begin{array}{c}E_1\\\vec p_1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}m_2\\\vec 0\end{array}\right) \] \[s_\mathrm{FT} = \left(\fvec p_1 + \fvec p_2\right)^2 = \fvec p_1^2 + 2\fvec p_1 \fvec p_2 + \fvec p_2^2 = m_1^2 + 2E_1m_2 + m_2^2 \stackrel{E\gg m}{=} 2E_1m_2 \ll s_\mathrm{CB} \] \underline{Beispiel:} SPS \[E_\text{beam} = \unit[450]{GeV} \qquad\qquad E_\mathrm{CMS} = \sqrt{2 E_\text{beam} m_\text{target}} = \unit[29]{GeV} \] \[\mathrm S \Pp \Pap \mathrm S: E_\mathrm{CMS} = \unit[900]{GeV} \] \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{02sps}} \caption{Super Proton Synchrotron (SPS) an CERN} \end{figure} \section{Zwei-Körper-Zerfälle} \begin{picture}(400,75)(0,-5) \put(95,10){CMS} \put(65,40){\vector(-2,-1){55}} \put(65,40){\vector(2,1){55}} \put(65,40){\circle*{11}} \put(52,46){$M$} \put(101,52){$m_2$} \put(20,11){$m_1$} \put(229,7){\vector(2,1){31}} \put(265,25){\circle*{11}} \put(265,25){\vector(1,3){12}} \put(265,25){\vector(3,-1){36}} \qbezier(273,49)(293,39)(289,17) \put(247,25){$M$} \put(260,60){$m_1$} \put(285,8){$m_2$} \put(272,28){$\theta_{12}$} \end{picture} $\begin{array}{lrclrclrcl} \text{CMS:}\quad & \fvec P_M^* &\!\!\!=\!\!\!& (M,\vec 0) \qquad & \fvec p_1^* &\!\!\!=\!\!\!& (E_1^*, \vec p^*) \qquad & \fvec p_2^* &\!\!\!=\!\!\!& (E_2^*, -\vec p^*) \smallskip\\ \text{Lab:}\quad & \fvec P_M &\!\!\!=\!\!\!& (E,\vec P) \qquad & \fvec p_1 &\!\!\!=\!\!\!& (E_1, \vec p_1) \qquad & \fvec p_2 &\!\!\!=\!\!\!& (E_2, \vec p_2) \end{array}$ \begin{eqnarray*} M^2 = \fvec P_M^2 = \left(\fvec p_1 + \fvec p_2\right)^2 &\!\!\!=\!\!\!& \fvec p_1^2 + \fvec p_2^2 + 2\fvec p_1 \fvec p_2 \\ &\!\!\!=\!\!\!& m_1^2 + m_2^2 + 2\bigl(E_1E_2 - |\vec p_1| |\vec p_2| \cos \theta_{12} \bigr) \\ (\text{für } E_{1,2} \gg m_{1,2})\ \to\ \ &\!\!\!\simeq\!\!\!& 2E_1E_2\left(1 - \cos\theta_{12}\right) \end{eqnarray*} \[\left(\begin{array}{c}M\\\vec 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}E_1^*\\\vec p^*\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}E_2^*\\\vec p^*\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\sqrt{m_1^2 + |\vec p^*|^2}\\\vec p^*\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}\sqrt{m_2^2 + |\vec p^*|^2}\\\vec p^*\end{array}\right)\] \begin{eqnarray*} M &\!\!\!=\!\!\!& E_1^* + \sqrt{m_2^2 + \left( E_1^*{}^2 - m_1^2\right)} \\ \left(M - E_1^*\right)^2 &\!\!\!=\!\!\!& m_2^2 + E_1^*{}^2 - m_1^2 \end{eqnarray*} \[\Rightarrow \fbox{$\begin{array}{rcl} E_1^* &\!\!\!=\!\!\!& \dfrac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2M} \medskip\\ E_2^* &\!\!\!=\!\!\!& M - E_1^* \end{array} $}\] \section{Mandelstamm-Variablen} \index{Mandelstamm-Variablen} Bei einem Zweikörper-Streuereignis ist es nützlich, die Mandelstamm-Variablen einzuführen:\\ \begin{picture}(400,85)(0,-5) \put(20,10){\vector(2,1){46}} \put(20,60){\vector(2,-1){46}} \put(70,35){\vector(2,1){50}} \put(70,35){\vector(2,-1){50}} \put(70,35){\circle*{10}} \put(12,57){1} \put(11,5){2} \put(122,57){3} \put(121,5){4} \put(22,62){$(\Pgngm)$} \put(22,3){$(\Pem)$} \put(94,62){$(\Pgmm)$} \put(97,3){$(\Pgne)$} \put(200,45){$\begin{array}{rcl} s &=& \left( \fvec p_1 + \fvec p_2 \right)^2 \\ t &=& \left( \fvec p_1 - \fvec p_3 \right)^2 = \left( \fvec p_2 - \fvec p_4 \right)^2 \\ u &=& \left( \fvec p_1 - \fvec p_4 \right)^2 = \left( \fvec p_2 - \fvec p_3 \right)^2 \end{array} $} \put(206,10){$t,u:$ Impulsüberträge} \put(206,-15){$s + t + u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 \stackrel{m_i \approx m_j}{\simeq} 4m^2$} \end{picture} \begin{fmffile}{fey02_1} \fmfframe(20,15)(60,15){ \begin{fmfgraph*}(112,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmflabel{$\Pe$}{i2} \fmflabel{$\Pe'$}{o2} \fmflabel{$\Pp$}{o1} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{heavy}{o1,i1} \fmf{dots,label=$\sqrt{t}=q$}{v1,v2} \fmffreeze \fmfforce{(.55w,0)}{v1} \fmfforce{(0,0)}{i1} \fmfforce{(0,.65h)}{i2} \fmfforce{(.5w,.65h)}{v2} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} $t = \left(\fvec p_{\Pe} - \fvec p_{\Pe'}\right)^2 = 2m_\Pe^2 - 2\left(E_\Pe E_{\Pe'} - \vec p_\Pe \vec p_{\Pe'} \right) \stackrel{m\ll E}{\simeq} -2E_\Pe E_{\Pe'}\left( 1 - \cos \theta\right) < 0:$ raumartig \section{Feynman-Graphen} \index{Feynman-Graphen} Ziel: $\sigma, \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega}, \Gamma \to \tau$ berechnen \medskip\\ bis 1948: nur mittels Streutheorie möglich (sehr kompliziert) \medskip\\ Feynman 1948: Regeln, Diagramme $\to$ WQ etc. \bigskip \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{02feynman}} \caption{Feynman-Graphen für \Pem, \Pep, \Pgg} \label{fig:feynman} \end{figure} In Abb. \ref{fig:feynman} sind die möglichen Graphen für Wechselwirkungen zwischen $\Pem$, $\Pep$ und $\Pgg$ dargestellt. Die Prozesse sind in dieser Form allerdings \emph{nicht} möglich, da die Energieerhaltung wegen $m_\Pgg = 0$ verletzt ist. Als Abhilfe führt man sogenannte virtuelle Teilchen ein. \index{virtuelle Teilchen} \subsubsection*{M\o ller-Streuung:} \begin{picture}(400,90) \put(20,20){\begin{fmffile}{fey02_moeller} \begin{fmfgraph*}(60,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfv{label=$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pem$}{o1} \fmflabel{$\Pem$}{i2} \fmflabel{$\Pem$}{o2} \fmf{fermion}{i1,v1,o1} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{photon, label=$\Pgg$}{v1,v2} \fmfdot{v1,v2} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \put(120,75){$E-\vec p-$Erhaltung erzwungen an jedem Vertex: $m_\gamma \neq 0$} \put(120,50){$m_\gamma^2 = (\fvec p_\Pe-\fvec p'_\Pe)^2=t<0$} \end{picture} \begin{figure}[ht] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.63\textwidth]{02bhabha}} \caption{Bhabha-Streuung: $\Pep\Pem \to \Pep\Pem$} \label{fig:bhabha} \end{figure} \subsubsection*{Virtuelle Teilchen (Exkurs)} Teilchen mit $\fvec p^0\neq \sqrt{m^2+p^2}$ heißen "`virtuell"' \[m_\gamma^2=(\fvec p_1+\fvec p_2)^2 = E_\mathrm {CM}^2>0 \qquad\text{massives Photon}\] Austauschteilchen sind (fast) immer virtuell. \\ \begin{picture}(400,110) \put(10,10){\vector(1,0){180}} \put(100,0){\vector(0,1){100}} \put(100,10){\line(1,1){82}} \put(100,10){\line(-1,1){82}} \qbezier(20,93)(100,12)(180,93) \put(88,90){$E$} \put(180,0){$p$} \put(155,25){$E=p$} \put(152,29){\vector(-3,1){20}} \put(175,50){$E=\sqrt{m^2+p^2}$} \put(172,54){\vector(-3,1){25}} \put(250,54){\vector(3,2){25}} \put(260,75){Massenschale} \put(250,25){"`Reelle"' Teilchen "`sitzen"'} \put(250,14){auf der Massenschale.} \end{picture} \begin{picture}(400,110) \put(20,30){\begin{fmffile}{fey02_epem1} \begin{fmfgraph*}(80,50) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfv{label=$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pgmm$}{o1} \fmflabel{$\Pep$}{i2} \fmflabel{$\Pgmp$}{o2} \fmf{fermion}{i1,v1,i2} \fmf{fermion}{o2,v2,o1} \fmf{dashes, label=$\Pgg$,label.side=left,tension=.7}{v1,v2} \fmf{phantom, label=$\PZz$,label.side=right,tension=.7}{v1,v2} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \put(135,65){\vector(3,1){50}} \put(135,45){\vector(3,-1){50}} \put(200,05){\begin{fmffile}{fey02_epem2} \begin{fmfgraph*}(60,100) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2,i3,i4} \fmfright{o1,o2,o3,o4} \fmf{fermion}{i1,v1,i2} \fmf{fermion}{o2,v2,o1} \fmf{dashes, label=$\PZz$,label.side=left}{v1,v2} \fmf{fermion}{i3,v3,i4} \fmf{fermion}{o4,v4,o3} \fmf{photon, label=$\Pgg$,label.side=left}{v3,v4} \fmfforce{(0,0)}{i1}\fmfforce{(0,.4h)}{i2}\fmfforce{(0,.6h)}{i3}\fmfforce{(0,1h)}{i4} \fmfforce{(.8w,0)}{o1}\fmfforce{(.8w,.4h)}{o2}\fmfforce{(.8w,.6h)}{o3}\fmfforce{(.8w,1h)}{o4} \fmffreeze \fmflabel{elm}{g2} \fmflabel{schwach}{g1} \fmfforce{(1w,.25h)}{g1} \fmfforce{(1w,.75h)}{g2} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \end{picture} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=\textwidth]{02z0res}} \caption{$\PZz$-Resonanz} \label{fig:massenschale} \end{figure} \subsection*{Feynman-Regeln:} "`\emph{alle} Diagramme sind zu berücksichtigen"'\\ Wirkungsquerschnitt $\propto |A_1+A_2+\dots+A_n|^2$\\ \begin{fmffile}{fey02_sum} \fmfframe(0,10)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(90,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{vanilla}{i1,v1,v2,o1} \fmf{vanilla}{i2,v3,v4,o2} \fmf{photon}{v1,v3} \fmf{photon}{v2,v4} \fmfdot{v1,v2,v3,v4} \end{fmfgraph*}} + \fmfframe(0,10)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(90,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{vanilla}{i1,v1,v2,i2} \fmf{vanilla}{o1,v3,v4,o2} \fmf{photon}{v1,v3} \fmf{photon}{v2,v4} \fmfdot{v1,v2,v3,v4} \end{fmfgraph*}} +\dots+ \fmfframe(0,10)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(110,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{vanilla}{i1,v1,v2,v3,o1} \fmf{vanilla}{i2,v4,v5,v6,o2} \fmf{photon}{v1,v4} \fmf{photon}{v3,v6} \fmffreeze \fmf{photon}{v2,v5} \fmfdot{v1,v2,v3,v4,v5,v6} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile}\medskip\\ \begin{fmffile}{fey02_alpha} \fmfframe(0,10)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(90,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{vanilla}{i1,v1,o1} \fmf{vanilla}{i2,v2,o2} \fmf{photon}{v1,v2} \fmflabel{$\sqrt\alpha=e$}{v1} \fmflabel{$e$}{v2} \fmfdot{v1,v2} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile} \[\Rightarrow A_1\propto \alpha; \qquad A_2\propto\alpha^2\] \[\begin{array}{cccc} |A_1+A_2|^2\ = & A_1^2 & +\text{ Interferenz}(A_1A_2)\ + & A_2^2\\ & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 \end{array}\] Interferenzterm unterdrückt relativ zu $A_1$ um $\frac{1}{137}$ \subsubsection*{Feynman Diagramme in starker WW} \[\begin{fmffile}{fey02_stark} \fmfframe(0,10)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(80,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{fermion}{o1,v1,i1} \fmf{gluon, label=$\Pg$}{v1,v2} \fmflabel{$\sqrt\alpha_s$}{v1} \fmflabel{$\Pq$}{i2} \fmflabel{$\Pq$}{o2} \fmflabel{$\Paq$}{i1} \fmflabel{$\Paq$}{o1} \fmfdot{v1,v2} \end{fmfgraph*} } \end{fmffile} \qquad\qquad \alpha_s(E)=\frac{g_s^2}{(4\pi)\hbar c}\approx\frac{1}{10}\gg\alpha_{em}\] \subsubsection*{Feynman Diagramme in schwacher WW} \begin{eqnarray*} \begin{fmffile}{fey02_weak1} \fmfframe(0,5)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(80,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{fermion}{i1,v1,o1} \fmf{scalar, label=$\PWp$}{v2,v1} \fmflabel{$\Pgne (\Pgngm)$}{i2} \fmflabel{$\Pem (\Pgmm)$}{o2} \fmflabel{$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pgne$}{o1} \fmfdot{v1,v2} \end{fmfgraph*}}\qquad\qquad\qquad \fmfframe(0,5)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(80,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{fermion}{i1,v1,o1} \fmf{scalar, label=$\PWm$}{v1,v2} \fmflabel{$\Pgne (\Pgngm)$}{i2} \fmflabel{$\Pem (\Pgmm)$}{o2} \fmflabel{$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pgne$}{o1} \fmfdot{v1,v2} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile} &\text{ oder }& \begin{fmffile}{fey02_weak2} \fmfframe(0,5)(0,0){ \begin{fmfgraph*}(80,60) \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{fermion}{i1,v1,o1} \fmf{dashes, label=$\PZz$}{v2,v1} \fmflabel{$\Pgne$}{i2} \fmflabel{$\Pem$}{o1} \fmflabel{$\Pem$}{i1} \fmflabel{$\Pgne$}{o2} \fmflabel{$\alpha_w$}{v2} \fmfdot{v1,v2} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile}\\ \\ \text{geladener Strom (charged current CC)} && \text{neutraler Strom (NC)} \index{geladener Strom}\index{neutraler Strom}\\ \\ \alpha_w=\frac{g_w^2}{(4\pi)\hbar c}&& \end{eqnarray*} \section{Wirkungsquerschnitt, Lebensdauer, Luminosität} Steuexperimente, Zerfälle, Untersuchung von Bindungszuständen $\longrightarrow$ WQ, $\tau$, $\Gamma$, Anregungs- und Zerfallsmoden \subsection{Wirkungsquerschnitt und Luminosität} \index{Wirkungsquerschnitt} \underline{Beispiel:}\qquad$ \Pgpm + \Pp \to \Pgpm \Pp$ \[\text{Abnahme } \dd N = -\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{\kappa}_\text{Streukoeffizient} \!\!\!\!\!\!\!\! \cdot N \cdot \Delta z \qquad\qquad [\kappa] = \frac{1}{\unit{m}}\] \[ \lambda := \frac{1}{\kappa}\, \widehat{=} \text{ Streu- oder WW-Länge} \qquad\qquad \kappa \propto n_\mathrm t = \frac{\rho\cdot N_\mathrm A}{M_\mathrm{target}} = \sigma \cdot n_\mathrm t \] \[\sigma : \text{tot. WQ} \qquad\qquad [\sigma] = \unit{cm^2} = \left[\text{Energie}^2\right] \qquad\qquad \unit[10^{-24}]{cm^2} = \unit[1]{barn} \] \[ \to \left(\unit[1]{GeV}\right)^2 = \frac{1}{\unit[2,5]{mb}} \] typ. Kern-WQ: \index{Wirkungsquerschnitt!Kern-WQ} $\displaystyle \quad \sigma_\mathrm{Kern} \simeq \pi\cdot\!\!\! \underbrace{r_\mathrm N^2}_{\approx \unit[1]{fm}} \simeq \unit[30]{mb}\ \widehat = \left(\frac{1}{\unit[100]{MeV}}\right)^2 $ \\ Wechselwirkungswahrscheinlichkeit $= \dfrac{\text{WQ}}{\text{tot. Fläche des Target}}$ \index{Wechselwirkungswahrscheinlichkeit} \\ \begin{picture}(400,50) \put(10,35){\vector(1,0){50}} \put(90,15){\vector(-1,0){50}} \put(30,35){\circle{20}} \put(70,15){\circle{20}} \put(10,27){\Pp} \put(85,7){\Pp} \put(105,30){\vector(0,-1){15}} \put(105,20){\vector(0,1){15}} \put(109,21){$b$} \put(150,21){Stoßparameter $b \approx 2 r_\Pp = 2\cdot \unit[0,8]{fm}$ } \put(150,3){$\sigma = \pi \left( 2r_\Pp\right)^2 = \unit[8]{fm^2} = \unit[80]{mb}$} \end{picture} \bigskip \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=\textwidth]{02ppcross}} \caption{$\Pp\Pp$-Wirkungsquerschnitt} \end{figure} \begin{tabular}{ll} $\Pgpm \Pp \to \Pgpm \Pp$ \quad(elast.) \\ $\Pgpm \Pp \to \Pgpz \Pn$ \quad(inelast.) \qquad {} & $\to \dd N = - N(z) \bigl (\underbrace{n_\mathrm t \,\sigma_\mathrm{eleast}}_{\kappa_\mathrm{elast}} + \underbrace{n_\mathrm t \,\sigma_\mathrm{inelast}}_{\kappa_\mathrm{inelast}} \bigr) \dd z $ \medskip\\ $\sigma_\mathrm{tot} = \sigma_\mathrm{elast} + \sigma_\mathrm{inelast}$ & $N_\mathrm{out} = N_\mathrm{in} \cdot \e^{-n_\mathrm t\,\sigma_\mathrm{tot}} $ \end{tabular} \[\to \sigma_\mathrm{tot}\ \widehat = \text{ Abschwächung von } N_\mathrm{in} \text{ zu }\frac{1}{\e} \text{ nach } \lambda = \frac{1}{n_\mathrm t\,\sigma_\mathrm{tot}}\] \[N_\mathrm{scatt} = N_\mathrm{in} - N_\mathrm{out} \stackrel{\Delta z \ll \lambda}{=} \underbrace{N_\mathrm{in} \cdot n_\mathrm t \cdot \Delta z}_\text{to know} \cdot \underbrace{\sigma_\mathrm{tot}}_\text{Dynamik der WW}\] mit $N_\mathrm{scatt} \to N_\mathrm{scatt}(\theta)$, $\sigma \to \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega}$ : \[\fbox{$\displaystyle \frac{\dd N_\mathrm{scatt}}{\dd\Omega} = \underbrace{N_\mathrm{in} \cdot n_\mathrm t \cdot \Delta z}_{\mathcal L_\mathrm{int}} \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} $} \qquad\qquad \text {integrierte Luminosität } \mathcal L_\mathrm{int} = N_\mathrm{in} \cdot n_\mathrm t \cdot \Delta z \] \begin{tabbing} messen:\quad \=$\dfrac{\dd N_\mathrm{scatt}}{\dd\Omega}$ \\ raten: \> $\displaystyle \mathcal L_\mathrm{int} \to \mathcal L = \dot N_\mathrm{in} \cdot n_\mathrm t \cdot \Delta z = N_\mathrm{in} \cdot n_\mathrm t \cdot \frac{\Delta z}{\Delta t} \qquad\qquad [\mathcal L] = \frac{1}{\unit{cm^2\cdot s}}$ \end{tabbing} \subsubsection*{Was macht man bei Collider-Experimenten?} \begin{picture}(400,70)(0,-10) \put(0,30){\vector(1,0){89}} \put(180,30){\vector(-1,0){89}} \put(71,1){\vector(0,1){15}} \put(71,59){\vector(0,-1){15}} \put(69,18){\line(0,1){24}} \put(29,18){\line(0,1){24}} \put(69,18){\line(-1,0){40}} \put(69,42){\line(-1,0){40}} \put(111,18){\line(0,1){24}} \put(151,18){\line(0,1){24}} \put(111,18){\line(1,0){40}} \put(111,42){\line(1,0){40}} \put(35,46){$N_1$} \put(133,46){$N_2$} \put(73,15){$A$} \put(250,45){$\mathcal L = N_1 N_2 \cdot \dfrac{1}{A}\cdot \dot N_\mathrm b$} \put(243,15){\begin{scriptsize}Teilchen/\end{scriptsize}} \put(249,7){\begin{scriptsize}Paket\end{scriptsize}} \put(288,15){\begin{scriptsize}Querschnitts-\end{scriptsize}} \put(303,7){\begin{scriptsize}fläche\end{scriptsize}} \put(292,-5){\begin{small}$=\frac{1}{4\pi\sigma_x\sigma_y}$\end{small}} \put(348,15){\begin{scriptsize}Pakete/\end{scriptsize}} \put(355,7){\begin{scriptsize}Zeit\end{scriptsize}} \put(265,22){\vector(1,2){10}} \put(313,22){\vector(0,1){14}} \put(350,22){\vector(-1,2){10}} \end{picture} \\ \textbf{besser:} Referenzreaktion \qquad $ \dot N = \sigma \cdot \mathcal L$\medskip \index{Referenzreaktion} \underline{Beispiel:} $\Pep \Pem$ collider (LEP) \\ Ziel: $\sigma (\Pep\Pem \to 2\Pq \to 2\text{ ``jets''}) \qquad\qquad \sigma_\mathrm{2j} = \dfrac{\dot N_\mathrm{2j}}{\mathcal L} \qquad \mathcal L = ?$ \smallskip \begin{figure}[!h!t] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{02lep_2jet} \caption{Ein ``2 Jet''- Event an LEP} \label{fig:2jet} \end{figure} Referenzreaktion: Bhabha-Streuung ($\Pep\Pem \to \Pep\Pem$) (siehe auch Abb. \ref{fig:bhabha}) \index{Bhabha-Streuung} \begin{figure}[!h!t] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{02lep_bhabha} \caption{Ein Bhabha-Event an LEP} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.99\textwidth]{02bhabhacross}} \caption{Diff. Wirkungsquerschnitt für Bhabha-Streuung} \end{figure} \[ \mathcal L = \frac{\dot N_\mathrm{Bhabha}}{\sigma} = \frac{\frac{\dd \dot N_\mathrm{Bhabha}}{\dd\Omega}}{\frac{\dd\sigma_\mathrm{Bhabha}^\mathrm{theroy}}{\dd\Omega}} \] \[ \dot N_\mathrm{2j}^\mathrm{obs} = \underbrace{\varepsilon_\mathrm{geom}}_{<4\pi} \cdot \varepsilon_\mathrm{det} \cdot \dot N_\mathrm{2j}^\mathrm{true} \] $\varepsilon_\mathrm{det}$: Triggereffizienz, Inhomogenitäten, Schwellen\ldots $\longrightarrow$ Monte-Carlo-Simulation \index{Monte-Carlo-Simulation} \[\underbrace{\frac{\Delta N_\mathrm{scatt}}{\Delta t}}_\text{messen} = \underbrace{\mathcal L\ \Big|_{\Delta t}}_\text{aus Bhabha-Streuung} \int_{\Delta\theta} \underbrace{\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}}_\text{gesucht} \underbrace{\varepsilon_\mathrm{det}(\Omega)}_\mathrm{MC} \dd\Omega \] \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=\textwidth]{02pppap}} \caption{Vergleich $\Pp\Pp$ und $\Pp\Pap$-Wirkungsquerschnitt} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.99\textwidth]{02pip}} \caption{$\Pgpp\Pp$ und $\Pgpm\Pp$ Wirkungsquerschnitte} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.99\textwidth]{02kpkn}} \caption{$\PK\Pp$ und $\PK\Pn$ Wirkungsquerschnitte} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{02wqvgl}} \caption{Vergleich einiger Wirkungsquerschnitte} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{02epem}} \caption{$\Pep\Pem$-Annihilation} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{02epemcharm}} \caption{$\Pep\Pem$-Annihilation in der Charm-Anticharm-Region} \end{figure} \subsection{Lebensdauer und Zerfallsbreite} \index{Lebensdauer} \index{Zerfallsbreite} $N$ Teilchen \qquad $\displaystyle N(t) = N_0 \e^{-\Gamma t} \qquad\quad \Gamma = - \frac{1}{N}\,\frac{\dd N}{\dd t}$ \qquad\quad Lebensdauer $= \tau = \dfrac{1}{\Gamma}$ \[ \Psi(t) \sim \e^{-iEt} \to \e^{-\br{iM-\frac{\Gamma}{2}}t} \qquad \abs{\hat \Psi (E)}^2 = \frac{\const}{\br{E-M}^2 + \br{\frac{\Gamma}{2}}^2} \] \[ \begin{array}{rclc} \Pgrz &\to& \Pgpp\Pgpm & \Gamma_1 \\ &\to& \Pgpz\Pgpz & \Gamma_2 \\ &\to& \Pep\Pem, \Pgmp\Pgmm \quad & \vdots \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{ll} \Gamma_i & \text{Partialbreite} \medskip\\ \dfrac{\Gamma_i}{\Gamma} & \text{branching fraction} \end{array} \] \medskip \begin{tabular}{lll} schwache WW $\quad$ & $\Gamma \le \unit[1]{eV}$ \\ em. WW & $\Gamma \lesssim \unit[10]{keV}$ \\ starke WW & $\Gamma > \unit[10]{keV} \qquad$ & $\tau \sim \unit[10^{-23}]{s}$ \end{tabular} \begin{picture}(400,95) \put(0,10){ \begin{fmffile}{fey02_Z0} \begin{fmfgraph*}(90,45) \fmfleft{i1} \fmfright{o1,o2} \fmflabel{$f\left(\Pqu,\Pqd,\ldots,\Pem,\Pgmm,\Pgtm,\Pgn\right)$}{o2} \fmflabel{$\widebar f\left(\Paqu,\Paqd,\ldots,\Pep,\Pgmp,\Pgtp,\Pagn\right)$}{o1} \fmf{scalar,label=$\PZz$,label.side=left}{i1,v1} \fmf{vanilla}{o1,v1,o2} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \put(250,-20){\includegraphics[width=5.5cm]{02zresonanz}} \end{picture} \[ \Gamma^\PZz_\mathrm{tot} = \Gamma_\mathrm{had}+\Gamma_\mathrm{lep}+\Gamma_\text{invisible} \qquad\quad \Gamma_\text{invisible} = N \cdot \Gamma_{\Pgn\Pagn} = \unit[\left(499,0 \pm 1,5 \right)]{MeV}\] \[\Gamma^\text{theo}_{\Pgn\Pagn} = \unit[166]{MeV} \text{ pro \Pgn -Familie} \qquad \Rightarrow N_\Pgn = 2,92 \pm 0,07 \] \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.66\textwidth]{02z0decay}} \caption{Geladene Teilchen in Detektoren} \end{figure} \begin{tabular}{llll} $\Pgpp\to\Pgmp\Pgngm$ & schwach\medskip\\ & $\Gamma=\unit [2,5\cdot 10^{-8}]{eV}\qquad$ & $\tau=\unit[2,6 \cdot 10^{-8}]{s}\qquad$ & $c\tau=\unit[7,8]{m}$ \medskip\\ & \multicolumn{2}{l}{$\displaystyle \gamma\beta c\tau=\frac{p}{m}c\tau \stackrel{\text{LEP}}{=}\frac{4,5}{0,138}c\tau=\unit[2,5]{km}$} & $\to$ stabil \bigskip\\ $\Pgrz\to\Pgpp\Pgpm$ & stark \medskip\\ $\qquad (770)$ & $\Gamma=\unit[149,2]{MeV} \qquad$ & $\tau=\unit[4\cdot 10^{-24}]{s}\qquad$ & $\gamma\beta c\tau=\unit[400]{fm}$ \\ & \multicolumn{3}{l}{ \begin{fmffile}{fey02_rho0} \fmfframe(10,15)(0,10){ \begin{fmfgraph*}(80,30) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2,i3,i4} \fmfright{o1,o2,o3,o4} \fmflabel{\Pu}{i3} \fmflabel{\Pau}{i2} \fmflabel{\Pu}{o4}\fmflabel{\Pad}{o3}\fmflabel{\Pd}{o2}\fmflabel{\Pau}{o1} \fmf{vanilla}{i2,v1,o1} \fmf{vanilla}{i3,v2,o4} \fmf{phantom}{v1,v2} \fmf{vanilla,left}{o2,o3} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile}} \\ $\begin{array}[t]{rcl} \Pgtm&\!\!\!\to\!\!\!& \Pgmm\Pagngm\Pgngt \\ &\!\!\!\to\!\!\!& \Pem\Pagne\Pgngt \end{array} $ & schwach & $\tau=\unit[290]{fs}$ & $\beta\gamma c\tau=\unit[2,2]{mm}$ \\ & \multicolumn{3}{l}{ \begin{fmffile}{fey02_tau} \fmfframe(10,0)(0,5){ \begin{fmfgraph*}(80,30) \fmfstraight \fmfleft{i1} \fmfright{o1,o2,o3} \fmfv{label=$\Pgtm$,label.a=120}{i1} \fmflabel{\Pgngt}{o1}\fmflabel{\Pem}{o2}\fmflabel{\Pgne}{o3} \fmf{vanilla}{i1,v1,o1} \fmf{vanilla}{o3,v2,o2} \fmf{dashes,label=$\PWm$,label.side=left}{v1,v2} \fmffreeze \fmfforce{(0w,0h)}{i1} \fmfforce{(.35w,0h)}{v1} \fmfforce{(.65w,0.75h)}{v2} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile}} \\ $\begin{array}[t]{rcl} \Pgtm&\!\!\!\to\!\!\!& \Pgpm\Pgngt \\ &\!\!\!\to\!\!\!& \Pgpp\Pgpm\Pgpm\Pgngt \end{array}$ & hadr. Zerfälle \bigskip\\ $\PJgy \quad (\Pc\Pac)$ & $m_\PJgy=\unit[3,1]{GeV}$ & $\Gamma_\PJgy=\unit[87]{keV}$ \medskip\\ & $m_\PDpm=\unit[1,97]{GeV}$ & $m_\PDz=\unit[1,86]{GeV}$ \\ & \multicolumn{3}{l}{ \begin{picture}(290,60)(0,10) \put(10,15){\begin{fmffile}{fey02_jpsi1} \begin{fmfgraph*}(50,40) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2,i3,i4} \fmfright{o1,o2,o3,o4} \fmflabel{\Pc}{i3} \fmflabel{\Pac}{i2}\fmflabel{$\Pad,\Pau$}{o3}\fmflabel{$\Pd,\Pu$}{o2} \fmfv{label=$\Pc$,label.a=0}{o4}\fmfv{label=$\Pac$,label.a=0}{o1} \fmf{vanilla}{i2,v1,o1} \fmf{vanilla}{i3,v2,o4} \fmf{phantom}{v1,v2} \fmf{vanilla,left}{o2,o3} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \put(91,45){$\Big\}\PDp,\PDz$} \put(91,17){$\Big\}\PDm,\PDz$} \put(170,15){\begin{fmffile}{fey02_jpsi2} \begin{fmfgraph*}(90,40) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2,o3,o4} \fmflabel{\Pc}{i2} \fmflabel{\Pac}{i1} \fmflabel{\Pu}{o4}\fmflabel{\Pad}{o3}\fmflabel{\Pd}{o2}\fmflabel{\Pau}{o1} \fmf{vanilla,right,tag=1}{i1,i2} \fmf{vanilla,left,tag=2}{o1,o4} \fmf{vanilla,left}{o2,o3} \fmffreeze \fmfforce{(0w,0.15h)}{i1} \fmfforce{(0w,0.85h)}{i2} \fmfposition \fmfipath{p[]} \fmfiset{p1}{vpath1(__i1,__i2)} \fmfiset{p2}{vpath2(__o1,__o4)} \fmfi{gluon}{point length(p2)/3 of p2 -- point length(p1)/4 of p1} \fmfi{gluon}{point length(p2)/2 of p2 -- point length(p1)/2 of p1} \fmfi{gluon}{point 2length(p2)/3 of p2 -- point 3length(p1)/4 of p1} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \end{picture}} \end{tabular} \subsection{Berechnung von Wirkungsquerschnitt und Lebensdauer} \subsubsection{Harte Kugeln:} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{02scattering}} \caption{Streuexperimente} \end{figure} \begin{enumerate} \item $2\alpha+\vartheta=\pi$ \item $b=R\sin\alpha=R\cos\frac{\vartheta}{2}$ \end{enumerate} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{02hardsphere}} \caption{Streuexperiment: Harte Kugeln} \end{figure} \[\dd\sigma=\abs{b\,\dd b\,\varphi} \qquad\qquad \dd\Omega=\abs{\sin\vartheta\,\dd\vartheta\,\dd\varphi}\] \[\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}=\abs{\frac{b\,\dd b}{\sin\vartheta\,\dd\vartheta}} = \frac{b}{\sin\vartheta}\, \frac{R}{2}\,\sin\frac{\vartheta}{2}= \frac{R^2}{2}\,\sin\frac{\vartheta}{2}\, \cos\frac{\vartheta}{2}\, \frac{1}{\sin\vartheta}=\frac{R^2}{4}\] \[\int\!\br{\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}}\dd\Omega=\frac{R^2}{4}4\pi=\pi R^2\] \subsubsection{Rutherford-Streuung:} \index{Rutherford-Streuung} Coulombstreuung $\br{V\sim\dfrac{e^2}{r}}$ an unbeweglichen Punktladungen ohne Spin \begin{figure}[!h!t] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{02rutherford} \caption{Rutherford-Streuexperiment} \end{figure} \[b=\br{\frac{zZe^2}{4E_\mathrm{kin}}}\cot\frac{\vartheta}{2} \qquad\leadsto\qquad \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}=\br{\frac{zZe^2}{4E_\mathrm{kin}}}^2\dfrac{1}{\sin^4\frac{\vartheta}{2}}\]\medskip\\ \begin{tabular}{lll} relativistische Ableitung &=& nichtrelativistische Ableitung\\ $\Rightarrow$ Austauschteilchen && $\Rightarrow$ Potential\\ Berechnung von\\ Feynman Diagrammen \end{tabular}\medskip\\ Wellencharakter $M\to M(E) \qquad \Rightarrow $ relativistische Wellengl. (Dirac, Klein-Gordon) \subsubsection{Generelle Behandlung} $1+2 \to 3+4 \qquad$ Streutheorie $\Ket{f}=S\Ket{i}$\\ $\Ket{f}$ enthält alle Quantenzahlen von $f (3,4)$, $\Ket{i}$ enthält alle Quantenzahlen von $i (1,2)$ und $S$ Streuoperator ($S$-Matrix) \begin{itemize} \item Wahrscheinlichkeit $\Ket{f'}$ aus $\Ket{f}$ (alle möglichen) zu finden\\ $\to \abs{\Braket{f'|f}}^2=\abs{\Braket{f'|S|i}}^2=:S_{fi}$ ($S$-Matrixelement) \item falls $\Ket{i} \to \Ket{f} \leadsto$ keine Streuung $\leadsto S= 1\!\!1 + iR, \qquad R$ Reaktionsoperator \item $\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}, \Gamma \propto \abs{S_{fi}}^2$ \item $E-\vec p-\text{Erhaltung}$, Normierung $\qquad R_{fi}=-i\underbrace{(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_f p_i)}_{E-\vec p-\text{Erhaltung}}\underbrace{N_1N_2N_3N_4}_{\text{Normierung } N=\frac{1}{\sqrt N}}M_{fi}$\\ $M_{fi}$ lorentzinvariante Streuamplitude ("`Matrixelement"') $\Braket{f|M|i}$ \end{itemize} Theorie: $M_{fi} \to \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}; \qquad$ Experiment: $\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\Big\vert_\text{measure} \Rightarrow$ Test $M_{fi}$\medskip\\ Wirkungsquerschnitt=$\dfrac{\text{Übergangswahrscheinlichkeit } \Ket{i}\to\Ket{f}}{\text{einkommender Fluss }\phi}$Phasenraumdichte (PS)\smallskip\\ PS: Anzahl der möglichen $\Ket{f}$ im Impulsraum; $\qquad \phi:$ Dichte der Anfangszustände (1+2)\medskip\\ \subsubsection*{Fermi's Golden Rule} \index{Fermis Goldene Regel} Übergangswahrscheinlichkeit $(1\to \text{viele})=\frac{2\pi}{\hbar}\abs{M_{fi}}^2PS$ \begin{itemize} \item \fbox{$\dd\sigma_{1+2\to3+4}=\dfrac{\abs{M_{fi}}^2}{\phi}\dd Lips$} $\smallskip\\ \dd Lips(s,p_3,p_4) = \dfrac{V\dd^3p_3}{(2\pi)^32E_3} \dfrac{V\dd^3p_4}{(2\pi)^32E_4} (2\pi)^4\delta^{(4)}(p_f-p_i)\quad$ lorentzinv. phasespace \item "`einlaufender"' Fluss (Strom)\\ %Abbildung $\phi:=$ Anzahl Zustände pro Einheitsfläche pro Zeiteinheit $\cdot$ Anzahl Targetzustände pro Einheitsvolumen $V$\\ $\Rightarrow \rho=\Psi^*\Psi=\abs{N\e^{i(\vec k\vec x-Et)}}^2=N^2$\\ um $\rho\,\dd^3x=\const$ (Anzahl Teilchen in Einheitszelle) $\Rightarrow \rho=N^2(2E)$ \item cov. Normierung $N=\dfrac{1}{\sqrt N} \to$ Anzahl einlaufender Zustände $=\int_V \rho\dd V=2E$\\ $\leadsto \phi=2E_1\underbrace{\dfrac{1}{A}\dfrac{v_1}{\Delta x}}_{\frac{1}{V}}2E_2\dfrac{1}{V}=\dfrac{2E_1}{V}\dfrac{2E_2}{V}\abs{\vec v_1}\quad $(Kürzen von $V$ mit $V$ aus $\dd Lips$)\\ $\stackrel{1,2 \text{ bewegt}}{\longrightarrow} \underbrace{\abs{\vec v_1-\vec v_2}}_{\vec v_\text{rel}}4E_1E_2=4\sqrt{(p_1p_2)^2-m_1^2m_2^2}$ \end{itemize} \subsubsection{Spezialfall} \chapter{Elektromagnetische Wechselwirkungen} \section{hier fehlt was} \subsection{Schleifendiagramme:} \index{Schleifendiagramm} \parbox[c]{180pt}{ \begin{fmffile}{fey03_schleife} \fmfframe(10,5)(50,10){ \begin{fmfgraph*}(110,70) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfv{label=\Pem,label.a=0}{o2} \fmfv{label=$Ze$,label.a=0}{o1} \fmf{fermion,label=$j$}{i2,v2} \fmf{fermion}{v2,o2} \fmf{heavy}{i1,v1,o1} \fmf{fermion,left,tension=.7,label=$\Pem$}{v3,v4} \fmf{fermion,left,tension=.7,label=$\Pep$}{v4,v3} \fmf{phantom}{i1,v3,o1} \fmf{phantom}{i2,v4,o2} \fmffreeze \fmf{photon,label=$\Pgg$}{v1,v3} \fmf{photon,label=$\Pgg$}{v4,v2} \end{fmfgraph*}} \end{fmffile}} Lambshift + Hyperfeinstruktur \index{Hyperfeinstruktur} \index{Lambshift} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{03splitting}} \caption{Hyperfeinstruktur und Lambshift in Wasserstoff} \end{figure} \[ V(r) \sim \frac{Z e^2}{r} \stackrel{\mathrm{FT}}{\longrightarrow} - \frac{Z e^2}{q^2} \] \[\parbox[c]{60pt}{ \begin{fmffile}{fey03_vacpol} \begin{fmfgraph*}(60,60) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmf{fermion}{i2,v2,o2} \fmf{phantom}{i1,v1,o1} \fmf{fermion,left,tension=.7}{v3,v4} \fmf{fermion,left,tension=.7}{v4,v3} \fmf{phantom}{i1,v3,o1} \fmf{phantom}{i2,v4,o2} \fmffreeze \fmf{photon}{v1,v3} \fmf{photon}{v4,v2} \fmfv{decor.shape=circle,decor.filled=.5}{v1} \end{fmfgraph*} \end{fmffile}} \text{Vakuum-Polarisation} \qquad \to - \frac{Ze^2}{r} - \frac{Z e^2}{15\pi m_{\Pem}^2} \delta(r) \] \begin{enumerate} \item "`Screening-Effekt"': Abschirmung der Kernladung \\ \index{Screening-Effekt} Bei Annäherung an den Kern nimmt die Abschirmung ab, dasCoulomb-Potential ist somit anziehender und die Bindung nimmt zu \\ $ \Rightarrow \mathrm S_{1/2}$-Niveau nimmt um $\unit[-27]{MHz}$ ab. \item "`Electron self-energy"' \\ \index{self-energy} Mit zunehmendem $\Braket r$ nimmt die Bindung ab \\ $\Rightarrow S_{1/2}$-Niveau nimmt um $\unit[1077]{MHz}$ zu. \medskip\\ Alle (möglichen) Ordnungen müssen betrachtet werden: \\ \begin{fmffile}{fey03_selfenergy} \fmfframe(10,5)(0,35){ \begin{fmfgraph*}(50,45) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfbottom{b1} \fmf{vanilla}{i2,v1,v2,v3,o2} \fmf{photon,tension=.7}{v2,b1} \fmffreeze \fmf{photon,left=.4,tension=.5}{v1,v3} \fmfv{decor.shape=circle,decor.filled=.5}{b1} \end{fmfgraph*}} $+$ \fmfframe(0,5)(10,10){ \begin{fmfgraph*}(50,70) \fmfstraight \fmfleft{i1,i2} \fmfright{o1,o2} \fmfbottom{b1} \fmf{vanilla}{i2,v1,v2,v3,o2} \fmf{photon}{v2,v4} \fmf{photon}{v5,b1} \fmf{fermion,left,tension=.5}{v5,v4} \fmf{fermion,left,tension=.5}{v4,v5} \fmffreeze \fmf{photon,left=.4,tension=.5}{v1,v3} \fmfv{decor.shape=circle,decor.filled=.5}{b1} \end{fmfgraph*}} $+ \ldots$ \end{fmffile} \[ \begin{array}{rcll} \br{\Delta r}_\mathrm{HFS} &\!\!\!=\!\!\!& \unit[1420,4057517864]{MHz} & \text{(exp.)} \\ &\!\!\!=\!\!\!& \unit[1420,404]{MHz} & \text{(theor.)} \end{array} \] \end{enumerate} \section{\texorpdfstring{$(g-2)$}{(g-2)}-Experimente} \index{$(g-2)$-Experimente} magnetisches Moment $\mu = g \underbrace{\frac{e \hbar}{2mc}}_{\mu_\mathrm B} \vec s$ \qquad\qquad $g$: Land\'e-Faktor \\ $g = 2$ für Dirac-Fermionen; für ausgedehnte Objekte: z.B. $g_\Pp = 5,58$, $g_\Pn = -3.82$ \medskip\\ Messung einer Abweichung $g \neq 2$ für Punktteilchen $\leadsto$ sensibler Test der QED \[ \frac{g-2}{2} = a \qquad\qquad a: \text{ anomales magn. Moment} \] \begin{tabular}{rcll} $\br{g-2}_\Pe$ &$\!\!\to\!\!$& $\Pem$ & Penningfalle (Paul, Dehmelt 1989, NP \\ $\br{g-2}_\Pgm$ &$\!\!\to\!\!$& $\Pgmm$ & Speicherring (CERN 1979), Brookhaven (2002) (Abb. \ref{fig:g-2_1} bis \ref{fig:g-2_3}) \end{tabular} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{03g-2ring}} \caption{$(g-2)$-Experimente am Brookhaven National Laboratory} \label{fig:g-2_1} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{03g-2exp}} \caption{$(g-2)$-Experiment mit \Pgmm} \label{fig:g-2_2} \end{figure} \begin{figure}[!h!t] \centering \fbox{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{03g-2muon}} \caption{$(g-2)$-Experiment mit \Pgmm am Brookhaven National Laboratory} \label{fig:g-2_3} \end{figure} \subsection*{Exkurs: Helizität} \index{Helizität} $h\ \widehat{=}$ Spinprojektion auf den Impulsvektor \medskip\\ für $E \gg m$: \qquad\fbox{$\br{\vec \sigma \cdot \vec p} \Psi_{R,L} = \pm E\,\Psi_{R,L}$} \[ \Psi_{R,L} = \br{\frac{1 \pm \gamma_s}{2}\,\Psi} \qquad\qquad \frac{\vec \sigma \cdot \vec p}{E}\,\Psi_{R,L} = \underbrace{\frac{\vec \sigma \cdot \vec p}{\abs{\vec p}}}_{\widehat h}\,\Psi_{R,L} = \underbrace{\pm}_{h} \Psi_{R,L} \] $m = 0$: $h$ ist eine "`gute"' Quantenzahl \\ $m \neq 0$: $h$ ist nicht erhalten $\to L,R$-Symmetrie verletzt \\ $E \gg m$: $\leadsto h$ "`recht gut"' \[ h_{\Pagngm} = + 1 \quad (m \simeq 0) \] \[ h_{\Pgmm} = +1 \text{ um den Zerfall zu ermöglichen} \qquad\qquad m = 0 \text{ fermion: } h = -1 \] Da $m_\Pgm = \unit[106]{MeV} \neq 0$: \[\frac{\Gamma\br{\Pgpm \to \Pem \Pagne}}{\Gamma\br{\Pgpm \to \Pgmm \Pagngm}} = \frac{m_{\Pem}^2}{m_{\Pgmm}^2}\ \frac{\bigl( m_{\Pgpm}^2 - m_{\Pem}^2\bigr)^2}{\bigl(m_{\Pgpm}^2 - m_{\Pgmm}^2\bigr)^2} = 1,3\cdot 10^{-4}\] %\begin{thebibliography}{99} %\addcontentsline{toc}{chapter}{Literaturverzeichnis} %\end{thebibliography} \newpage \addcontentsline{toc}{chapter}{Index} \printindex \end{document}